4°. Операции над кососимметричными тензорами

В этом пункте мы будем рассматривать ковариантные кососимметричные тензоры.

Все компоненты кососимметричного тензора где размерность пространства равны нулю в силу определения кососимметричности.

Рассмотрим кососимметричный тензор

типа и покажем, что все его отличные от нуля компоненты с точностью до знака совпадают друг с другом.

В самом деле, компоненты, у которых совпадают хотя бы два индекса, равны нулю в силу кососимметричности тензора. Если же индексы попарно различны, то вследствие той же кососимметрии

Пример 1. Пусть трижды ковариантный кососимметричный тензор в трехмерном пространстве Тогда из компонент равна нулю, а оставшиеся совпадают либо с либо

В общем случае только из общего числа пп компонент могут быть отличны от нуля. Половина из них равна другая —

Нетрудно проверить, что сумма кососимметричных тензоров одного типа и произведение кососимметричного тензора на число снова являются кососимметричными тензорами.

Тем самым совокупность кососимметричных тензоров типа образует линейное пространство. Его размерность равна

В частности, размерность пространства кососимметричных тензоров типа равна 1.

Этот же факт легко вытекает из того, что у тензоров типа ровно одна существенная компонента — значит, любые два кососимметричных тензора типа пропорциональны.

Для кососимметричных тензоров можно ввести еще одну операцию — внешнее умножение.

Определим внешнее произведение двух ковариантных кососимметричных тензоров

по следующему правилу:

а) сначала построим тензорное произведение с компонентами

б) затем проальтернируем его, т. е. построим тензор с компонентами

(здесь суммирование ведется по всевозможным перестановкам

чисел

Полученный кососимметричный тензор V называется внешним произведением тензора на тензор

Обозначение:

Пример 2. Пусть тензоры типа Тогда кососимметричный тензор типа его компоненты V вычисляются по правилу

Введенная операция обладает следующими свойствами:

Последнее свойство позволяет опускать скобки и писать просто

1-е свойство вытекает из того, что

При доказательстве 2-го свойства для простоты ограничимся рассмотрением тензоров типа

Пусть

Тогда — дважды ковариантный кососимметричный тензор с компонентами

а дважды ковариантный кососимметричный тензор с компонентами

Вычисляя далее компоненты тензоров получим соответственно

Нетрудно заметить, что для любых Замечание. Можно определить внешнее произведение любого конечного числа сомножителей.

Пример 3. Пусть заданные тензоры типа где - числа, Тогда

Формула легко вытекает из того, что

и

Замечание. С контравариантными кососимметричными тензорами можно поступать совершенно аналогично.