2°. Корректность определения тензора

Покажем, что данное выше определение тензора корректно. ТЕОРЕМА 1. Пусть произвольные неотрицательные целые числа. Тогда в пространстве существуют тензоры типа

Выберем в пространстве базис Произвольно взятый набор чисел будем рассматривать как совокупность компонент тензора типа относительно этого базиса.

Укажем сначала, как построить компоненты тензора относительно любого другого базиса.

Пусть — базис пространства

Определим набор чисел по правилу (6):

Чтобы убедиться в том, что тем самым в пространстве действительно построен тензор типа достаточно проверить, является ли тензорным закон преобразования компонент при переходе от одного произвольно взятого базиса к другому, тоже произвольному.

Пусть и - два произвольных базиса пространства

Компоненты относительно базиса определим по формуле (6), а компоненты относительно базиса по следующему правилу:

где элементы матрицы перехода от базиса к базису элементы обратной матрицы:

Покажем, что указанный тензорный закон типа сохраняется и при переходе от компонент к компонентам

Прежде чем подставлять в правую часть формулы (8) выражение (7) для заметим, что

Теперь уже нетрудно увидеть, что

Замечание. На практике для задания тензора; как правило, используют именно этот прием: относительно выбранной координатной системы (часто естественным образом приспособленной к рассматриваемой задаче) задаются компоненты тензора и указывается его тип. Закон преобразования позволяет находить в случае необходимости компоненты тензора в любой другой координатной системе.