11. Уравнения совместности деформаций

Первая группа уравнений.

Деформация в окрестности точки деформированного тела описывается шестью скалярными величинами: линейными деформациями по трем взаимноперпендикулярным направлениям и угловыми деформациями . Например, линейная деформация в произвольном направлении, характеризуемом направляющими косинусами -(формула (26)), может быть определена, если известны шесть указанных величин.

Вместе с тем из формул Коши следует, что шесть величин выражаются через производные трех функций . Следовательно, между компонентами деформаций должны существовать зависимости, вытекающие из условия, что для непрерывных дифференцируемых функций порядок дифференцирования не оказывает влияния на окончательный результат; например,

Возьмем для сопоставления следующие формулы Коши:

Дифференцируя величину по х и по у, найдем

Подобным образом или способом круговой перестановки индексов можно получить

Уравнения (41) — (43) образуют первую группу уравнений совместности деформаций.

Вторая группа уравнений.

Существуют еще три тождества, которые получаются несколько более громоздким путем.

Выпишем выражения для деформаций сдвигов:

Для того чтобы связать производные деформаций сдвигов с производной от попытаемся исключить из правых частей уравнений (44) функции . Так как следует сохранить в правой части одну производную от и, то нужно продифференцировать уравнение (44) по z, а уравнение (46) — по у. Тогда получим

Из (47) и (48) найдем

Сумма двух последних членов в правой части равенства в силу зависимости (45) равна

и тогда можно записать

Теперь, чтобы получить в правой части равенства производную от достаточно продифференцировать соотношение (50) по х:

С помощью круговой перестановки индексов получаем еще два тождества:

Уравнения (51) —(53) составляют вторую группу уравнений совместности деформаций.

Замечание. Шесть уравнений совместности деформаций (уравнения (41) — (43), (51) — (53)) были установлены французским инженером Б. Сен-Венаном, одним из создателей современной теории упругости. Уравнения совместности часто называют тождествами Сен-Венана.

Физический смысл уравнений совместности деформаций.

Компоненты деформации однозначно описывают деформацию элемента тела. В деформированном состоянии все элементы должны образовывать единое тело. Если условия совместности деформаций нарушаются, то из отдельных элементов нельзя составить тело без разрывов и пустот (рис. 3.10). В том случае, когда уравнения совместности удовлетворяются в каждой точке тела, перемещения будут непрерывными функциями координат, что гарантирует непрерывное преобразование начальной формы тела в конечную (дефорн мированную).

Если решение задачи о напряженном и деформированном состояниях сводится к отысканию перемещений и последние выбираются среди класса непрерывных функций с непрерывными частными производными до третьего порядка, то уравнения совместности деформаций удовлетворяются тождественно.

Рис. 3.10. Деформированное состояние тела при нарушении условий совместности деформаций