Рассмотрим уравнение второго порядка

\[
\Phi\left(x, \frac{d x}{d t}, \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)=0 .
\]

Обозначим $\dot{x}=y$ и вычислим
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} y
\]

Тогда уравнение (1.1) можно представить в виде

или
\[
\Phi\left(x ; y ; \frac{d y}{d x} y\right)=0
\]
\[
\Phi^{*}\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=0 .
\]

Общий интеграл этого уравнения
\[
\Psi(x, y, C)=0
\]

описывает в плоскости ( $x, y$ ) некоторое однопараметрическое семейство кривых
\[
y=\varphi(x, C) .
\]

Плоскость $(x, y)$ будем называть фазовой плоскостью уравнения (1.1), а кривую $y=\varphi(x, C)$ – фазовой траекторией этого уравнения. Решение уравнения (1.1) – точка $\{x(t) ; y(t)\}$ – бу. дет называться изображающей точкой. Если уравнение (1.1)
Рис. 1. трактовать как уравнение, описывающее движение материальной точки, то изображающая точка определяет в каждый моменг времени $t$ положение и скорость этой точки. При изменении аргумента $t$ изображающая точка будег двигаться вдоль фазовой траектории (рис. 1).
Так как в верхней полуплоскости $d x / d t=\dot{x}>0$, то изображающая точка в верхней полуплоскости перемещается в сторону возрастающих значений $x$, а в нижней полуплоскости $(\dot{x}<0)$ – в сторону убывающих значений $x$. Следовательно, радиус-вектор изображающей точки в случае фазовой траектории, показанной на рис. 1, в первом квадранте вращается против часовой стрелки, а в четвертом – по часовой стрелке.

Если движение, описываемое уравнением (1.1), периодическое, то соответствующая ему фазовая траектория будет замкнутой. Придавая параметру $C$ в формуле (1.2) всевозможные действительные значения, мы получим всю совокупность возможных движений, описываемых уравнением (1.1).