420. Пример относительного движения.

Концы однородного тяжелого стержня длины скользят без трения, один А — по горизонтальной оси а другой В — по вертикали (рис. 249). Найти движение стержня, предполагая, что система вращается вокруг с постоянной угловой скоростью (Rоuth, Rigid Dynamics, Elementary Part, стр. 343.)

Рис. 249.

Силы, приложенные к стержню, суть вес приложенный в середине О, и нормальные реакции осей Чтобы найти относительное движение по отношению к этим осям, можно рассматривать их как неподвижные при условии, что в каждой точке стержня прикладываются центробежная сила Ф и кориолисова сила Ф. После этого применим к относительному движению теорему кинетической энергии, вспомнив, что работа кориолисовых сил инерции равна нулю, и заметив, что работа реакций на относительном перемещении также равна нулю. Обозначим через момент инерции стержня относительно точки О и через — угол, который он образует с осью так что координаты центра тяжести суть По теореме Кёнига кинетическая энергия стержня равна обозначает производную от по Элементарная работа силы тяжести равна Наконец, центробежная сила Ф, приложенная к точке с абсциссой х, параллельна оси и имеет значение таёх. Ее элементарная работа равна Если обозначить через расстояние то и когда стержень скользит, тогда Отсюда для получается значение На основании этого сумма элементарных работ центробежных сил есть — Так как есть момент инерции стержня относительно точки В, равный то для суммы работ центробежных сил получаем Заметив, что для однородного стержня и разделив уравнение кинетической энергии на М, получим

что непосредственно определяет в функции при помощи одной квадратуры. Предполагая для упрощения, что при получим

Отсюда можно выразить в функции при помощи эллиптического интеграла первого рода и как эллиптическую функцию переменного

При анализе решения нужно иметь в виду, что может принимать только такие значения, при которых правая часть положительна.

Относительное равновесие. Разделив уравнение (1) на и выполнив дифференцирование, получим

Для нахождения положения относительного равновесия нужно правую часть приравнять нулю. Тогда получается что дает вертикальное положение, и далее

откуда получаем некоторое значение для 0, если достаточно велико. Чтобы рассмотреть вопрос об устойчивости, обозначим через а значение 0, соответствующее одному из этих двух положений, и положим где очень мало. Тогда, подставляя это значение 0 в равенство (3) и разлагая правую часть по степеням мы получим, пренебрегая высшими степенями,

Если величина

положительна, то положение равновесия, соответствующее устойчиво и период бесконечно малых колебаний вокруг этого положения равен Если эта величина отрицательна, то равновесие неустойчиво. Можно проверить, что если существует только вертикальное положение равновесия то оно устойчиво. Если существует кроме него также наклонное положение равновесия, то устойчивым будет последнее, а вертикальное будет неустойчиво.

Промежуточный случай, когда заслуживает особого внимания. Тогда оба положения равновесия совпадают с вертикальным. Если по-прежнему положить где бесконечно мало, то исчезнет и, рассматривая только первый член, получим

Следовательно, равновесие будет устойчивым, так как стремится уменьшаться по абсолютному значению. Угол определяется тогда в функции при помощи эллиптической функции.

Если стержень предоставлен самому себе без начальной скорости в положении, соответствующем бесконечно мало), то легко убедиться, что время, необходимое для возвращения стержня в вертикальное положение, обратно пропорционально амплитуде