319. Условия, при которых ось Oz является главной для точки О.
Найдем условия, при которых одна из осей координат, например, 
является главной осью инерции для точки О. Для этого
необходимо, чтобы уравнение эллипсоида инерции, построенного в точке О, не содержало членов с первой степенью 
т. е. чтобы
или
Ось 
будучи главной осью инерции для точки О, не будет, вообще говоря, главной осью того же направления для другой точки О, лежащей на расстоянии 
от О (рис. 182). Чтобы выразить, что 
является главной осью также и для точки О, необходимо, согласно предыдущему, присоединить к уравнениям (3) новые условия
которые получаются, если перенести начало в точку О.
Рис. 182.
Комбинируя эти условия с предыдущими, мы приведем их к виду
который выражает, что ось 
проходит через центр тяжести. Если это геометрическое условие выполняется, то ось 
будет главной осью инерции для любой своей точки, и в частности, для центра тяжести, так как условия, которые мы только что установили, будут тогда выполняться при любом 
Теорема. Главная ось инерции, проходящая через центр тяжести, является главной осью инерции для любой своей точки. Наоборот, если какая-нибудь ось является главной для двух своих точек, то она будет главной для всех своих точек и будет проходить через центр тяжести.
Очевидно, что если тело имеет плоскость симметрии, то эта плоскость будет главной для каждой своей точки, так как если ее принять за плоскость 
то каково бы ни было начало координат, будем иметь:
поскольку 
принимает значения, попарно равные и противоположные по внаку.
