388. Исследование движения. Интегрирование при помощи эллиптических функций.

Допустим, что и что произвольная постоянная не равна ни одной из величин А, В или С. Проекции мгновенной угловой скорости вращения находятся как функции времени из трех уравнений

Определяя из первых двух уравнений риги подставляя их третье уравнение, мы получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно Исключив сначала из первых двух уравнений, получим

Из сопоставления величин А, В, С вытекает, что разность D - С существенно положительна. Она может обратиться в нуль только в том случае, когда одновременно равны нулю, т. е. в случае, когда в начальный момент тело будет вращаться вокруг оси Этот случай будет рассмотрен отдельно. Далее из последнего уравнения найдем

где положено

Вычисляя аналогично, получим:

где двучлен существенно положителен и не может обратиться в нуль иначе, как при равных нулю.

Так как должны быть вещественными, то необходимо, чтобы было меньше наименьшей из величин Чтобы узнать эту величину, составим разность

Знак совпадает со знаком который известен по начальным условиям.

Допустим для определенности, что

Тогда переменная должна будет изменяться между Следовательно, никогда не обратится в нуль и будет сохранять один и тот же знак, который будет известен по начальному значению Допустим, что Напротив, обращается в нуль всякий раз, когда Если увеличивается, то производная будет положительной, и третье из уравнений (15) показывает, что будет тогда отрицательным; когда уменьшается, тогда будет положительным. Эти рассуждения устанавливают в каждый момент времени знаки, которые нужно брать перед радикалами, выражающими в функции

Наконец, подставляя найденные значения в третье из уравнений (15), получим

Перед радикалом нужно брать знак пока возрастает, и так до момента, когда достигнет значения После этого будет уменьшаться от и перед радикалом нужно брать знак — и т. д.

Мы видим, что определяется в функции при помощи эллиптического интеграла, который мы приведем к нормальному виду, полагая

Таким путем, разрешая относительно и интегрируя, мы получим

где обозначает положительную постоянную

и - новая произвольная постоянная, представляющая собой тот момент времени, когда возрастая, обращается в нуль. Модуль меньше единицы, так как он равен ангармоническому отношению величин

Полученные выше формулы определяют как однозначные функции времени. В самом деле, если для краткости положить

то обращение эллиптического интеграла дает

где положительно и равны

На основании элементарных свойств функций эти формулы показывают, что обращаются периодически в нуль, в то время как никогда в нуль не обращается.

Если, как и раньше, мы предположим, что то будет оставаться все время положительным и нужно будет принять Тогда на основании первого уравнения Эйлера непосредственно видно, что и должны иметь одинаковые знаки, а это на основании известной формулы

показывает, что Мы примем

Величины являются периодическими функциями времени и имеют период

Когда время увеличивается на эту величину, принимают прежние значения. В эти моменты мгновенная ось вращения занимает свое первоначальное положение в теле, но не в пространстве, как мы это увидим дальше.

Теперь надо вычислить три угла Эйлера в функции времени. Для упрощения вычислений мы предположим, что в качестве оси (рис. 226) выбрано неизменное направление главного момента количеств движения известного из начальных условий. Напишем, что проекции вектора на подвижные оси равны соответственно

так как косинусы углов, образованных осями с осью суть есть модуль вектора Из этих уравнений без интегрирования получаем в функции Уравнения эти совместны на основании равенства (13). Чтобы вычислить обратимся к двум ранее полученным уравнениям

Рис. 226.

Исключая в, мы из них получим

Но из уравнений (20) имеем

и следовательно, выражение для принимает вид

Так как положительно, то угол будет все время возрастать и плоскость будет все время поворачиваться в положительном направлении вокруг т. е. вокруг Заменяя или их значениями в функции мы получим в функции через квадратуру, выполненную над эллиптической функцией! Мы покажем ниже (п. 391), как можно, выполнив эту квадратуру, выразить и вместе с ним девять косинусов в функции времени.

Полученные формулы позволяют определить основные особенности движения. Когда увеличивается на период Г, величины принимают первоначальные значения. Как видно из формул (20), также принимает первоначальное значение, так как период Т не обращаются в нуль, а увеличивается на . В самом деле, следя за изменением или вычисляя мы видим, что

постоянно увеличивается, если Что касается угла то он за период Т увеличивается на некоторую постоянную величину. В самом деле, обозначая через выражение угла в функции времени, получающееся из уравнения (21), имеем

так как есть функция времени имеющая период Т. Следовательно, интегрируя, получим

где обозначает некоторый постоянный угол.