379. О стремлгнии материальных систем избегать трения.
Во многих случаях движение системы с трением происходит таким образом, что работа сил трения все более и более уменьшается по абсолютной величине. Другими словами, система стремится избежать воздействия на нее сил трения. Так, скользящие колесо или шар заканчивают движение качением, круглый волчок, запущенный на горизонтальной плоскости, выпрямляется таким образом, чтобы сила трения была приложена к все меньшей и меньшей параллели его конической оси и т. д.
Это свойство может быть объяснено такими общими рассуждениями 
Вообразим материальную систему, обладающую следующими свойствами, которые встречаются в большинстве обычных систем:
1° рассматриваемая система подчинена вначале некоторым связям без треиия, не зависящим от времени;
2° она подвержена действию внутренних сил с потенциалом П, который положителен или равен нулю во всех возможных положениях системы, причем в нуль обращается в особом положении, являющемся положением устойчивого равновесия системы под действием одних только внутренних сил;
3 система содержит твердые тела или точки, скользящие с трением друг по другу или по неподвижным телам;
4° она находится, наконец, под действием других внешних сил, имеющих силовую функцию 
которая остается меньше некоторого определенного предела 
при всех возможных положениях системы, при которых осуществляется по крайней мере одно касание, дающее трение.
Для определенной таким образом системы уравнение кинетической энергии будет:
где 
— кинетическая энергия, 
— коэффициенты трения, 
абсолютные значения нормальных реакций, 
— значения относительных скоростей скольжения материальных точек соприкасания различных попарно соединенных тел.
Если мы положим для сокращения
то мы увидим, что эта величина Ф, являющаяся суммой положительных или равных нулю членов, существенно положительна и может обратиться в иуль только тогда, когда все ее члены одновременно равны нулю.
Уравнение кинетической энергии
показывает, что величина Ф имеет нижним пределом нуль.
В самом деле, абсурдно предполагать, что величина Ф в течение всего времени движения остается больше некоторого определенного предела X, большего нуля, ибо если
то из уравнения кинетической энергии получится:
откуда, интегрируя, найдем:
где С — некоторая постоянная. Так как 
имеет предел 
то отсюда выводим
Когда 
неограниченно возрастает, правая часть принимает все более возрастающие по абсолютной величине отрицательные значения. Следовательно, энергия 
должна становиться все меньше и меньше и ее величина, состоящая из двух слагаемых, положительных в начальный момент, должна обратиться в нуль по истечении конечного промежутка времени. Начиная с этого момента, потенциал II и кинетическая энергия Т будут равны каждая порознь нулю. Следовательно, при таком положении, при котором потенциал II равен нулю, все скорости по истечении конечного промежутка времени обратятся в нули.
Но этот вывод противоречит сделанному предположению, что
так как если все скорости обращаются в нули, а реакции предполагаются конечными, то Ф тоже обратится в нуль и не может быть больше X.
Таким образом, доказано, что при возрастании 
величина Ф стремится к нулю. Следовательно, различные члены
составляющие величину Ф, стремятся все к нулю. Тогда некоторые реакции, например, 
тоже стремятся к нулю. Система стремится освободиться от вызывающих эти реакции связей с трением. В то же время стремятся к нулю скорости 
остальных точек, в которых происходит трение, и соответствующие скольжения стремятся исчезнуть.
Таким образом, система в совокупности стремится избежать трения.
Мы приняли для простоты обычные законы трения скольжения. Но те же выводы остаются верными, если принять следующий общий закон: сила трения скольжения твердого тела А по твердому телу В, рассматриваемому как неподвижное, есть существенно положительная сила 
направленная в сторону, противоположную скорости 
точки касания, и обращающаяся в нуль только тогда, когда равна нулю нормальная реакция. Действительно, при этих условиях элементарная работа силы 
равная — 
является существенно отрицательной величиной, обращающейся в нуль только тогда, когда равна нулю или нормальная реакция или скорость скольжения.
Те же рассуждения распространяются и на случаи трения качения и трения верчения. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что для трения, например, качения элементарная работа силы, вызванной трением качения, имеет вид 
, где К — положительная величина, обращающаяся в нуль только тогда, когда либо прекращается качение, либо когда оба катящихся друг по другу тела разделяются.
Достаточно общий пример можно найти в двух статьях Лекорню (Сотрtes rendus, 2е semestre, 1906, стр. 1132; Bulletin de la Societe mathematique, т. XXXV, 1907, стр. 3). Можно также указать на посвященную этой теме статью Е. Даниэля (Е. Daniе1е, Nuovo Cimento, serie V, т. XV, июнь 1908).
Аналогичные рассуждения можно применить и к сопротивлению среды. (См. статью Аппеля в сборнике: Hommage a Louis. Olliyier, Imprimerie Maretheux, 1911.)
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
