Главная > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

379. О стремлгнии материальных систем избегать трения.

Во многих случаях движение системы с трением происходит таким образом, что работа сил трения все более и более уменьшается по абсолютной величине. Другими словами, система стремится избежать воздействия на нее сил трения. Так, скользящие колесо или шар заканчивают движение качением, круглый волчок, запущенный на горизонтальной плоскости, выпрямляется таким образом, чтобы сила трения была приложена к все меньшей и меньшей параллели его конической оси и т. д.

Это свойство может быть объяснено такими общими рассуждениями Вообразим материальную систему, обладающую следующими свойствами, которые встречаются в большинстве обычных систем:

1° рассматриваемая система подчинена вначале некоторым связям без треиия, не зависящим от времени;

2° она подвержена действию внутренних сил с потенциалом П, который положителен или равен нулю во всех возможных положениях системы, причем в нуль обращается в особом положении, являющемся положением устойчивого равновесия системы под действием одних только внутренних сил;

3 система содержит твердые тела или точки, скользящие с трением друг по другу или по неподвижным телам;

4° она находится, наконец, под действием других внешних сил, имеющих силовую функцию которая остается меньше некоторого определенного предела при всех возможных положениях системы, при которых осуществляется по крайней мере одно касание, дающее трение.

Для определенной таким образом системы уравнение кинетической энергии будет:

где кинетическая энергия, — коэффициенты трения, абсолютные значения нормальных реакций, — значения относительных скоростей скольжения материальных точек соприкасания различных попарно соединенных тел.

Если мы положим для сокращения

то мы увидим, что эта величина Ф, являющаяся суммой положительных или равных нулю членов, существенно положительна и может обратиться в иуль только тогда, когда все ее члены одновременно равны нулю.

Уравнение кинетической энергии

показывает, что величина Ф имеет нижним пределом нуль.

В самом деле, абсурдно предполагать, что величина Ф в течение всего времени движения остается больше некоторого определенного предела X, большего нуля, ибо если

то из уравнения кинетической энергии получится:

откуда, интегрируя, найдем:

где С — некоторая постоянная. Так как имеет предел то отсюда выводим

Когда неограниченно возрастает, правая часть принимает все более возрастающие по абсолютной величине отрицательные значения. Следовательно, энергия должна становиться все меньше и меньше и ее величина, состоящая из двух слагаемых, положительных в начальный момент, должна обратиться в нуль по истечении конечного промежутка времени. Начиная с этого момента, потенциал II и кинетическая энергия Т будут равны каждая порознь нулю. Следовательно, при таком положении, при котором потенциал II равен нулю, все скорости по истечении конечного промежутка времени обратятся в нули.

Но этот вывод противоречит сделанному предположению, что

так как если все скорости обращаются в нули, а реакции предполагаются конечными, то Ф тоже обратится в нуль и не может быть больше X.

Таким образом, доказано, что при возрастании величина Ф стремится к нулю. Следовательно, различные члены

составляющие величину Ф, стремятся все к нулю. Тогда некоторые реакции, например, тоже стремятся к нулю. Система стремится освободиться от вызывающих эти реакции связей с трением. В то же время стремятся к нулю скорости остальных точек, в которых происходит трение, и соответствующие скольжения стремятся исчезнуть.

Таким образом, система в совокупности стремится избежать трения.

Мы приняли для простоты обычные законы трения скольжения. Но те же выводы остаются верными, если принять следующий общий закон: сила трения скольжения твердого тела А по твердому телу В, рассматриваемому как неподвижное, есть существенно положительная сила направленная в сторону, противоположную скорости точки касания, и обращающаяся в нуль только тогда, когда равна нулю нормальная реакция. Действительно, при этих условиях элементарная работа силы равная — является существенно отрицательной величиной, обращающейся в нуль только тогда, когда равна нулю или нормальная реакция или скорость скольжения.

Те же рассуждения распространяются и на случаи трения качения и трения верчения. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что для трения, например, качения элементарная работа силы, вызванной трением качения, имеет вид , где К — положительная величина, обращающаяся в нуль только тогда, когда либо прекращается качение, либо когда оба катящихся друг по другу тела разделяются.

Достаточно общий пример можно найти в двух статьях Лекорню (Сотрtes rendus, 2е semestre, 1906, стр. 1132; Bulletin de la Societe mathematique, т. XXXV, 1907, стр. 3). Можно также указать на посвященную этой теме статью Е. Даниэля (Е. Daniе1е, Nuovo Cimento, serie V, т. XV, июнь 1908).

Аналогичные рассуждения можно применить и к сопротивлению среды. (См. статью Аппеля в сборнике: Hommage a Louis. Olliyier, Imprimerie Maretheux, 1911.)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru