466. Примеры.

Первое приложение. Плоское движение материальной точки в полярных координатах. Пусть — полярные координаты точки массы . Имеем:

Обозначая через Р составляющую приложенной силы по перпендиг куляру к радиусу-вектору и через составляющую по радиусу-вектору, непосредственно видим, что элементарная работа силы равна

Следовательно, уравнения движения будут

или

Примечание. В выражении для величина

представляет собой с точностью до множителя производную от Введем теперь вместо параметр X, дифференциал которого определяется соотношением

а возможная вариация — соотношением

Имеем:

следовательно,

и уравнения движения будут

Второе уравнение имеет вид

Если Р равно нулю, то X будет постоянной, что дает теорему площадей. Второе приложение. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки. Рассмотрим твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О, и вычислим энергию ускорений относя движение к системе осей движущихся одновременно как относительно тела, так и в пространстве. Обозначим через мгновенную угловую скорость вращения триедра и через -его составляющие по осям, через — мгновенную угловую скорость вращения тела и через ее составляющие. Частица тела с координатами обладает абсолютной скоростью с проекциями

Абсолютное ускорение этой частицы имеет проекции

как это вытекает из того, что есть абсолютная скорость точки с координатами Обозначая через производные от по времени, имеем:

Но — проекции относительной скорости частицы в ее движении а по отношению к осям Так как эта относительная скорость есть геометрическая разность абсолютной и переносной скоростей, то

На основании этого имеем следующее выражение для которое мы располагаем по

Аналогичные выражения получаем для и тогда

Вычисление этой суммы не представляет уже трудностей. Мы видим, что в результат войдут величины легко выражаемые через коэффициенты А, В, С, D, Е, F эллипсоида инерции в точке О, отнесенные к осям

Для простоты мы напишем здесь эту сумму, предполагая, что оси суть главные оси инерции в точке О и обозначая через А, В, С моменты инерции относительно этих осей. Тогда, ограничиваясь членами с имеем

Уравнения Эйлера. Примем в качестве подвижных осей три оси, неизменно связанные с телом и совпадающие с тремя главными осями инерции. Тогда имеем

Обозначим через суммы моментов приложенных сил относительно этих осей и через — элементарные углы, на которые нужно повернуть тело вокруг этих осей, чтобы перевести его из заданного положения в положение, бесконечно близкое. Пусть величины играют роль параметров Имеем, с одной стороны,

С другой стороны, так как составляющие мгновенной угловой скорости врат щения тела равны

то функция будет

где ненаписанные члены не содержат Следовательно, уравнения движения имеют вид

В частности, например, первое из них напишется так:

что на основании значений в точности совпадает с одним из уравнений Эйлера.

Тело вращения, подвешенное в точке О своей оси. Проведем через точку О неподвижную ось и примем как в п. 400 (рис. 234) за ось ось вращения, за ось Ох — перпендикуляр к плоскости и за ось перпендикуляр к плоскости Если положение триэдра будет известно, то для того, чтобы найти положение тела, достаточно будет знать угол который образует с осью неизменно связанный с телом отрезок выходящий из точки О и лежащий в плоскости Производная этого угла по времени представляет собой угловую скорость собственного вращения тела вокруг оси Угловая скорость тела будет тогда равна сумме угловой скорости триэдра и угловой скорости Имеем, следовательно,

Тогда, так как то функция определяемая выражением (13) обратится в следующую:

Пусть по-прежнему — элементарные углы, на которые нужно повернуть тело вокруг чтобы перевести его из какого-нибудь положения в положение, бесконечно близкое, и моменты сил относительно осей Как и выше, будем иметь

и уравнения движения будут:

Так как составляющая угловой скорости не зависит от то

Таким образом, мы получили опять уравнения (61) п. 400,