360. Реакции оси.

Чтобы получить возможность вычислить эти реакции, мы предположим, что неподвижность оси достигается путем закрепления двух ее точек О и Пусть — реакции оси в этих двух точках (рис. 200). Мы можем рассматривать тело как свободное, причисляя к заданным силам реакции и Применяя тогда к системе теорему количества движения, мы получим три следующих уравнения:

Рис. 200.

Применяя затем теорему момента количества движения относительно осей Ох и Оу и обозначая через координату точки получим два уравнения:

Эти два последних уравнения определяют Два первых из предыдущей группы определяют , а третье — сумму Здесь мы встречаемся с той же особенностью, что и при равновесии, особенностью, которую мы изучили в статике. Если предполагать тело абсолютно твердым, то можно найти только Определить отдельно можно только, принимая во внимание упругие деформации тела (п. 110). Эта неопределенность вызвана тем, что если тело является твердым, то, не изменяя его состояния, можно приложить в точках две произвольные силы равные и прямопротивоположные. Составляющие и реакций станут тогда равными одна из них при подходящем выборе может принять какое угодно значение, например нуль.

Мы развернем теперь предыдущие уравнения, заменив вторые производные координат их значениями в функции Мы уже получили

откуда выводим

и формулы принимают вид

Входящие в эти формулы суммы изменяются со временем. Например, имеет значение где I — абсцисса центра тяжести. Для вычисления других сумм введем систему осей вращающуюся вместе С телом, причем совпадает с а угол равен Формулы преобразования будут:

откуда выводим

где суммы, входящие во вторые части, не зависят от времени.

Частный случай. Формулы упрощаются, когда ось вращения является главной центральной осью инерции. Действительно, в этом случае имеем:

и уравнения, определяющие реакции, принимают теперь вид

Эти уравнения совпадают с первыми пятью условиями равновесия (п. 110). Последнее условие равновесия не выполняется, так как не равно нулю. Эта величина равна

Рис. 201.

Чтобы пояснить найденный результат (рис. 201), приведем к началу координат внешние силы действующие на тело. Получим главный вектор (222 и пару с вектором момента Разложим эту пару на две, из которых одна имеет момент направленный вдоль , а другая — момент перпендикулярный к . Если отбросить пару сохранив лишь действие на тело результирующей силы и пары с моментом то это тело, если оно было неподвижно, будет оставаться в равновесии и реакции оси будут иметь некоторые значения и Если теперь телу сообщить некоторую начальную угловую скорость и приложить к нему пару то тело будет вращаться, но реакции оси останутся те же, какие были при равновесии.

Примечание. Формулы (1) показывают насколько важно, чтобы в машинах вращающиеся части, такие, как маховое колесо, вращались вокруг главной оси инерции относительно центра тяжести. В противном случае в значения реакций будут входить квадраты угловой скорости и вследствие этого, если угловая скорость станет большой, реакции и вместе с ними давления на ось станут очень большими и могут вызвать поломку или разрыв оси.