339. Случай интегрируемости Ковалевской.

В работе, премированной в 1888 г. Парижской Академией наук и помещенной в т. XII Acta mathematica, Ковалевская рассмотрела новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Приведем сначала форму уравнений движения, из которой исходила Ковалевская.

Обозначим, как и раньше, через косинусы углов, которые образуют связанные с телом оси с направленной вертикально вверх неподвижной осью а через — постоянные значения координат центра тяжести относительно этих осей. Проекции веса Р на подвижные оси равны

и моменты его относительно тех же осей

Три уравнения Эйлера принимают вид

К этим уравнениям присоединим три других, указанных уже Пуассоном. Если на оси отложить отрезок равный единице, то конец Н этого отрезка будет иметь относительно подвижных осей координаты Проекции на эти оси относительной скорости точки Н относительно подвижных осей равны

Проекции на подвижные оси переносной скорости той же точки в системе подвижных осей равны

Проекции на подвижные оси абсолютной скорости этой точки равны суммам проекций относительной скорости и переносной скорости (п. 45). Но так как точка Н неподвижна, то ее абсолютная скорость равна нулю. Следовательно, имеем

Эти уравнения, присоединенные к уравнениям (58), образуют систему шести уравнений первого порядка, Определяющих в функции

Для этой системы известны из общих теорем два интеграла, алгебраических относительно . Это — интеграл энергии и интеграл площадей В горизонтальной плоскости . К этим интегралам мы можем присоединить очевидное соотношение

Вопрос сводится к нахождению нового интеграла. В случае Лагранжа и Пуассона этим новым интегралом является . В случае Ковалевской также предполагается, что эллипсоид инерции является поверхностью вращения, но к этому добавляется более сильное требование, чтобы

Кроме того, предполагается, что центр тяжести лежит в экваториальной плоскости, так что . В этом случае можно всегда выбрать в качестве связанной с телом оси ось расположенную в плоскости экватора и тем самым сделать так, что Тогда три уравнения (58), если положить примут вид

Умножая второе на и складывая с первым, получим

Точно так же, умножая второе из уравнений (59) на и складывая первым, получим

Исключая из этих двух уравнений, приходим к следующему;

или

Меняя l на —l, получим второе соотношение такой же формы. Складывая это второе соотношение с первым, получаем

откуда, интегрируя и потенцируя, находим

Мы имеем таким образом новый алгебраический интеграл. Задача, как это показано в работе Ковалевской, может быть теперь закончена при помощи квадратур. Наиболее простые способы приведения к квадратурам даны Кёттером (К Otter, Acta math., т. XVII) и Колосовым (Math. Annalen, т. LVI).

Общий случай. Хюссон (Husson) доказал, что кроме рассмотренных нами трех случаев (случай Эйлера и Пуансо, случай Лагранжа и Пуассона, случай Ковалевской) нельзя получить для движения тяжелого тела с закрепленной точкой при произвольных начальных условиях третий алгебраический интеграл, отличный от интеграла энергии и интеграла моментов (см. Husson, Recherche des integrates algebriques dane le mouvement d’un solide pesant au-tour d’un point fixe. Th6se, Annales de la Faculty des Sciences de Toulouse, 2-e serie, т. VIII, 1906; Sur un th6orfeme de M. Poincar6 relativement au mou-vement d’un solide pesant, Acta mathematica, т. XXXI, 1908).

Можно также указать на две статьи Штекеля (PaulStасkе1, Ausge-zeichnete Bewegungen des schweren unsymetrischen Kreisels, Mathematische Annalen, т. LXV, 1908; Die reduzierten Differentialgleichungen der Bewe-gung ..., там же, т. LXVII, 1909).

Частные начальные условия. Частные начальные условия позволяют выполнить интегрирование в случаях, отличных от трех классических. Так, для частного случая, характеризуемого условиями , можно привести интегрирование к квадратурам, если постоянная площадей на горизонтальной плоскости равна нулю. См. статью Колосова Sur le cas de М. Оо-riatchoff de la rotation d’un corps pesant autour d’un point fixe (Rendiconti del Circolo di Palermo, 10 августа 1902) с последующими заключениями Марко-лонго.

Другой частный случай указан в статье Николая Ковалевского Eine neue particulare Losung (Math. Annalen, т. LXV, 1908).