III. Приложение общих теорем

510. Прямой удар двух шаров.

Допустим, что два однородных шара с массами сталкиваются в момент времени Удар этих двух шаров называется прямым, если в момент оба шара не вращаются и скорости их центров С и С направлены по линии центров За очень короткий промежуток времени в течение которого происходит удар, линия центров может приближенно рассматриваться как неподвижная, и мы примем ее за ось Обозначим через и отсчитываемые вдоль этой оси, алгебраические значения скоростей обоих центров в момент начала удара и через и — алгебраические значения этих скоростей в момент когда удар кончается. Из соображений симметрии мы можем допустить, что эти конечные скорости также направлены вдоль оси

Проанализируем в основных чертах явление. Начиная с момента когда шары приходят в соприкосновение, они вблизи точки касания деформируются и их центры продолжают немного сближаться до

момента когда расстояние между ними сделается наименьшим. В течение этой первой фазы удара между шарами возникают реакции, стремящиеся их раздвинуть. Эти реакции будут очень велики; их работа будет отрицательной и кинетическая энергия системы будет уменьшаться. В момент скорости обоих центров будут одинаковые, центры не будут больше сближаться, а деформация будет наибольшей. Начиная с этого момента, взаимные реакции обоих шаров будут продолжать действовать, оба шара будут стремиться отделиться и принять свою первоначальную форму, так что в момент они будут соприкасаться только в одной точке; на этом удар закончится. В течение этой второй фазы, от момента V до момента кинетическая энергия системы будет увеличиваться, так как работа реакций положительна.

Первую зависимость между скоростями в моменты и мы получим по теореме проекций количеств движения. Так как обыкновенными силами, такими, как сила тяжести, можно во время удара пренебречь, то оба шара составляют систему, находящуюся под действием только внутренних ударов. Следовательно, изменение суммы проекций количеств движения на ось равна нулю, и мы получим уравнение

которое можно также вывести, написав, что скорость V центра тяжести не изменяется:

Чтобы закончить определение скоростей и надо сделать предположения о природе обоих тел.

1°. Тела абсолютно неупругие. Тела называются абсолютно неупругими, если они остаются в соприкосновении после удара. В задаче, которую мы разбираем, это определение выражается равенством — Тогда на основании соотношения (1) имеем

В этом случае явление удара сводится только к первой фазе и момент совпадает с моментом Следовательно, происходит потеря кинетической энергии. Это легко проверить непосредственно. В самом деле, потерянная кинетическая энергия равна

Заменяя и их значениями (2), найдем:

что является величиной положительной. Эту потерю кинетической энергии надо понимать в чисто механическом смысле; по закону сохранения энергии она должна вновь возникнуть в какой-нибудь другой форме, например, в форме тепла.

Мы можем на этом примере проверить теорему Карно, которую мы докажем ниже во всей ее общности. Заметим прежде всего, что удар происходит вследствие того, что на систему внезапно накладывается новая связь; оба тела, которые вначале были независимы, пришли в соприкосновение. С другой стороны, в рассматриваемом случае абсолютно неупругих тел эта внезапно наложенная связь сохраняется после удара. При этих условиях потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии, которую имела бы система, если бы каждая ее точка имела скорость, которую она теряет в результате удара. При этом за потерянную скорость каждой точки принимается, по определению, геометрическая разность ее скоростей до и после удара.

В рассматриваемом случае потерянная скорость каждой точки первого шара равна абсолютному значению разности — так как скорости и параллельны оси точно так же скорость, потерянная каждой точкой второго шара, есть абсолютное значение разности следовательно, кинетическая энергия этих потерянных скоростей равна

Заменяя в этом выражении и их общим значением (2), непосредственно найдем, что оно равно вычисленной выше потерянной кинетической энергии (3).

2°. Тела абсолютно упругие. Два тела называются абсолютно упругими, если при их соударении не происходит никакой потери кинетической энергии. Следовательно, если предположить, что оба шара удовлетворяют этому условию, то получится новая зависимость

которая совместно с соотношением

позволяет определить неизвестные скорости Для решения этой системы напишем оба уравнения в виде

Отсюда, разделив одно равенство на другое и переставив члены, получим соотношение

выражающее, что относительная скорость обоих шаров в результате соударения не изменяется; она меняет только знак, но не меняет своей величины. Положим

Тогда предыдущее соотношение будет тождественно удовлетворено. Если мы эти значения подставим во второе из написанных выше уравнений, то получим

откуда непосредственно найдем конечные скорости

Если оба шара имеют одинаковую массу то откуда

т. е. каждый из шаров будет иметь после удара такую скорость, какую имел другой шар до удара, и для невнимательного наблюдателя все происходит так, как будто бы оба шара прошли один сквозь другой, не изменив своего движения.

3°. Промежуточный случай. Мы видели, что в случае абсолютно неупругих тел в результате удара относительная скорость обоих тел становится равной нулю; в случае упругих тел эта скорость только меняет знак. Мы можем попытаться, как это делает Ньютон, представить себе, что произойдет с телами, не совершенно упругими, предположив, что в результате удара эта относительная скорость меняет знак и уменьшается в некотором заданном отношении

Если то тела будут абсолютно неупругими; если они абсолютно упруги, то Последнее уравнение, к которому мы всегда присоединяем уравнение количеств движения

позволяет вычислить скорости и Легко проверить, что всегда имеет место потеря кинетической энергии, выражаемая величиной

т. е. произведением на потерю кинетической энергии, которая была бы при ударе абсолютно неупругих тел.

4°. Полученные результаты могут быть распространены на удар двух произвольных тел, если выполняются следующие простые условия: общая нормаль к обоим телам в точке касания проходит при ударе через оба центра тяжести; оба тела совершают поступательное движение, параллельное этой нормали.

Пример: гвоздь и молоток. Пусть масса молотка, масса гвоздя. Найдем конечную скорость гвоздя. В рассматриваемом случае равно нулю и к непосредственно находится из предыдущих уравнений, в которых определяется свойствами металла, из которого изготовлены гвоздь и молоток. Потеря кинетической энергии равна здесь Отношение этой потери к кинетической энергии в начале удара есть

Так как эта потерянная кинетическая энергия вызывает лишь деформацию гвоздя и его согревание, то представляется выгодным сделать это отношение как можно меньше, т. е. сделать так, чтобы было велико по сравнению с т. Таким образом, при одной и той же работе, затраченной рабочим, т. е. при одной и той же сообщенной молотку кинетической энергии выгоднее пользоваться тяжелым молотком, сообщая ему малую скорость, чем легким молотком, но действуя им с большой скоростью.