ГЛАВА XXVI. УДАР

I. Удар, приложенный к материальной точке

505. Определения.

Может случиться, что точки материальной системы резко меняют свои скорости за весьма короткий промежуток времени, но система за тот же промежуток времени не меняет заметно своего положения.

Например, когда толкают кием неподвижный бильярдный шар, то за весьма короткий промежуток времени, в течение которого как соприкасается с шаром, точки шара мгновенно приобретают конечные скорости, но за тоже время эти точки не меняют заметно своего положения. После этого шар движется по сукну по изученным нами законам.

Аналогичное явление наблюдается у брошенного в стену и отскакивающего от нее упругого мяча, За весьма короткий промежуток времени, в течение которого мяч находится в соприкосновении со стеной, он не меняет заметно своего положения, но скорости его различных точек резко изменяются, так как в момент времени, непосредственно предшествующий соприкосновению, мяч двигался по направлению к стене, а тотчас после соприкосновения он от нее удаляется. Начиная с этого момента, движение мяча снова происходит под действием силы тяжести. Влиянием последней можно было пренебречь при соприкосновении мяча со стеной, которое происходило в течение очень короткого промежутка времени.

При такого рода явлениях говорят, что движущаяся система испытывает удар.

Эти явления приписывали раньше так называемым мгновенным силам. По существу явления удара вызываются очень большими, силами, действующими в течение очень короткого промежутка времени, и могут быть легко изучены с помощью общих теорем динамики. Мы исследуем сначала эти явления для одной материальной точки.

506. Удар, приложенный к одной материальной точке.

1°. Один удар. Рассмотрим сначала материальную точку М массы находящуюся под действием силы с проекциями Уравнения движения этой точки будут

или

Каков бы ни был закон силы, величины X, Y, Z могут быть рассматриваемы во время движения как функции времени Умножим обе части этих уравнений на и проинтегрируем от до Получим:

где и являются значениями в моменты

Те же равенства можно написать в виде

Вектор в правой части равенства (2). составляющие которого суть интегралы, стоящие в правых частях равенств (2), называется импульсом силы за промежуток времени . И мы имеем следующую теорему:

Геометрическое изменение количества движения точки за промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку.

Допустим, что промежуток очень мал. Если сила в этом промежутке не будет очень большая, то правые части уравнений (2) будут очень малыми величинами, и поэтому скорость точки за промежуток времени изменится очень мало. Это и имеет место при движении точки под действием обыкновенных сил, таких, например, как силы тяжести, силы ньютоновского притяжения к неподвижному центру и т. д. Но если сила имеет в течение очень короткого промежутка времени очень большую величину, порядка то интегралы в правых частях уравнений (2) имеют конечные значения, импульс остается конечным, и поэтому скорость точки претерпевает конечное изменение. Однако точка в течение этого же промежутка времени перемещается очень мало, так как

ее скорость во всем промежутке остается конечной. Точнее говоря, если обозначить максимальное значение скорости в рассматриваемом промежутке времени через V, то перемещение точки будет меньше, чем

Итак, очень большая сала, действующая на точку в течение очень короткого промежутка времени, производит конечное изменение скорости без заметного перемещения точки.

В качестве первого приближения рассмотрим предельный (идеальный) случай, когда промежуток - бесконечно мал, а сила в этом промежутке бесконечно велика, порядка Тогда точка получат внезапно конечное изменение скорости, не изменяя своего положения. В таких случаях мы будем говорить, что на точку действует удар и будем представлять этот удар в виде вектора Р с началом в точке и с проекциями, равными трем интегралам:

Тогда уравнения (2), определяющие изменение скорости, напишутся так:

или

Эти уравнения позволяют измерять удар по производимому им эффекту. Пусть -количество движения точки (рис. 270) до удара, а ее количество движения после удара. Построим геометрическую разность векторов . Уравнение (3) выражает, что эта разность равна удару, приложенному к точке. Следовательно, имеем:

Рис. 270.

Это соотношение определяет удар как функцию количеств движения в моменты Наоборот, если известны количество движения то до удара и удар Р, то количество движения после удара есть геометрическая сумма векторов .

2°. Действие нескольких ударов. Пусть - несколько сил, действующих на точку и имеющих проекции Уравнение движения будет

Умножим обе части на и проинтегрируем в пределах от до Получим

Предположим, что промежуток времени бесконечно мал, а силы в этом промежутке бесконечно большие, порядка . Тогда, как мы только что видели, интегралы в правой части имеют конечные значения и определяют удары .

Уравнение (4) показывает, что изменение количества движения точки М будет такое же, как и при действии только одного удара Р, определяемого соотношением

Этот удар Р, который может заменить рассматриваемые удары, равен, следовательно, их геометрической сумме. Таким образом, несколько ударов, приложенных к точке, складываются как силы.

Если с суть проекции вектора — проекции вектора — проекции вектора и т. д., то

507. Эффект действия обыкновенных сил, таких, как сила тяжести, за время удара равен нулю.

В самом деле, допустим, что так же, как и в предыдущем случае, точка находится под действием нескольких сил но предположим, что сила остается конечной в течение бесконечно малого промежутка времени , в то время как другие силы становятся бесконечно большими порядка

Тогда Р равно нулю, в то время как отличны от нуля, и в уравнении (4) первый член правой части исчезнет, так как эффект действия обыкновенной силы за промежуток времени ничтожно мал.

Так, если мяч ударяется о стену, то действие силы тяжести мяча во время удара ничтожно мало по сравнению с эффектом самого удара.

508. Выводы. Теоремы для одной материальной точки.

Для сокращения письма мы обозначим через величину т. е. изменение величины за промежуток

времени Точно так же будет обозначать изменение величины за тот же промежуток времени.

Вообще, если и является функцией от то мы обозначим через Да изменение величины и за промежуток времени . При вычислении величины Да необходимо иметь в виду, что изменяются только не изменяются, так как во время удара положение точки не изменяется.

Уравнения (4) можно теперь написать так:

или

Эти уравнения выражают следующую теорему:

изменение количества движения точки равно геометрической сумме ударов

или, что то же,

изменение проекции количества движения точки на какую-нибудь ось равно сумме проекций ударов на ту же ось.

Составим теперь векторное произведение обеих частей равенства (5) на Получим

и мы приходим к следующей теореме:

изменение момента количества движения точки М относительно центра О равно сумме моментов ударов, приложенных к точке М, относительно центра О,

или, что то же,

изменение момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равно сумме моментов ударов относительно этой оси.