464. Невозможность прямого применения уравнений Лагранжа к минимальному числу параметров.

Мы только что видели, как можно при помощи метода множителей использовать уравнения Лагранжа для связей, определяемых соотношениями (11).

Но можно было бы попытаться привести число параметров к возможно меньшему числу, воспользовавшись соотношениями (11), чтобы получить наименьшее число параметров в выражении возможного перемещения, и воспользовавшись соотношениями (13), чтобы получить наименьшее число параметров в выражении кинетической энергии

Однако после таких преобразований уже нельзя будет применить уравнения Лагранжа. Сейчас мы это докажем.

Возможное перемещение, допускаемое всеми связями, наложенными на систему, определяется для точки равенствами:

в которых связаны соотношениями Определим из этих соотношений вариаций как однородные линейные функции остальных. Подставляя найденные значения вариаций в и полагая получим:

где теперь уже произвольны. Внося значения в общее уравнение динамики, мы получим соотношение, в котором коэффициенты при должны быть равны нулю.

Таким путем получаются уравнения движения (п. 433):

где буквами обозначены правые части.

Кроме того, так как в рассматриваемом случае действительное перемещение допускается связями, то на основании равенств (14)

или, пользуясь для производных обозначениями Лагранжа,

Попытаемся для первого уравнения (15) следовать методу, который приводит к уравнениям Лагранжа. Мы допустим для упрощения, что коэффициенты зависят только от Тогда первое из уравнений можно написать в виде

где

Но так как с равны, очевидно, то первый член уравнения (16) равен

так же, как и в уравнениях Лагранжа. Но второй член не будет, вообще говоря, равен Действительно, имеем

Следовательно,

Но так как, по предположению, коэффициенты являются функциями параметров то

Дифференцируя написанное ранее выражение для х, получим

Следовательно, коэффициент при х в разности равен

В общем случае он отличен от нуля. Коэффициенты при у и имеют аналогичную форму. Следовательно, разность если заменить в ней их выражениями через переменные будет в общем случае квадратичной формой от Для того, чтобы равнялось т. е. чтобы к параметру было применимо уравнение Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы эта квадратичная форма была тождественно равна нулю, каковы бы ни были

Частные случаи. Г. Если выражения (14) для являются полными дифференциалами, то все величины вида

равны нулю. Тогда будут равны нулю также выражения вида (17) и для всех параметров будут применимы уравнения Лагранжа. В этом случае можно будет проинтегрировать равенства (14) и выразить в конечной форме через Система будет голономной.

2°. Случай, когда уравнение Лагранжа применимо к параметру Допустим, что для всех точек справедливы соотношения: дав

Тогда величины вида (18), являющиеся коэффициентами при в выражении равны нулю и равно Следовательно, к параметру применимо уравнение Лагранжа. Этот случай может быть охарактеризован иначе. Предполагая, что выполнены условия (19), определим функции от соотношениями:

где произвольная постоянная и интегрирование производится На основании условий (19) непосредственно находим

где величина, в которую обращается при замене постоянной Точно так же

Аналогичные соотношения получаются для . Мы можем тогда написать:

Таким образом, уравнение Лагранжа применимо к параметру если для произвольной точки системы можно представить как суммы полных дифференциалов некоторых функций от и дифференциальных выражений, не содержащих

Например, при движении обруча уравнение Лагранжа может быть применено, как это уже отметил Ферре (Ferres, Quarterly Journal of Mathematics, 1871—1873), к параметру 6. Действительно, если положение обруча относительно его своего центра тяжести О определяется значениями углов то координаты какой-нибудь точки обруча относительно осей будут функциями от

Абсолютные координаты той же точки относительно неподвижных осей будут иметь вид

Сообщим системе возможное перемещение, допускаемое связями. Имеем:

где нужно заменить их значениями (8). Но мы непосредственно видим, что эти значения могут быть представлены в виде

Следовательно, для окончательно имеем выражения:

которые имеют вид уравнений (20). В самом деле, в рассматриваемом случае мы имеем три независимые вариации и мы видим, что каждая из величин может быть представлена как сумма полного дифференциала и дифференциального выражения, не содержащего . Следовательно, для параметра можно написать уравнение Лагранжа.

Кинетическая энергия обруча, если его массу принять за единицу и пользоваться обозначениями п. 411, будет

или, так как

Это выражение можно было написать заранее, замечая, что скорость частицы Н, находящейся в соприкасании с поверхностью, равна нулю и, следовательно, скорости различных точек обруча будут такими, как если бы обруч вращался с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через Н. В этом выражении для 27 нужно заменить их значениями (п. 411):

С другой стороны, существует силовая функция

Мы только что видели, что одним из уравнений движения обруча является уравнение Лагранжа относительно :

Так как только содержит , то

и так как и зависят от , то

Таким образом, имеем уравнение

которое представляет собой не что иное, как уравнение, получаемое исключением из третьего уравнения (6) и первого уравнения (7) п. 411.

К этому уравнению можно присоединить уравнение энергии

поскольку связи не зависят от времени. Однако мы не имеем права писать уравнения Лагранжа относительно