457. Смешанный метод Жильбера.

Опираясь частично на теорию относительного движения, Жильбер использовал следующий метод.

Пусть, как и раньше, требуется найти движение системы относительно осей совершающих известное движение. Предполагается, что положение системы относительно этих осей зависит от геометрически независимых параметров и сумма возможных работ приложенных сил на перемещении предполагается по-прежнему равной

Проведем через подвижное начало О вспомогательные оси параллельные неподвижным осям (рис. 265).

Можно рассматривать оси как неподвижные при условии добавления к действительно приложенным силам только переносных сил инерции, так как оси движутся поступательно Если мы обозначим ускорение подвижного начала О через то переносная сила, которую нужно приложить в каждой точке, будет — Обозначим через проекции ускорения на оси Тогда проекции переносной силы на те же оси будут

и сумма работ этих сил на возможном перемещении, сообщенном системе, будет равна

где сумма распространена на все точки. Величины являются известными функциями времени

Полагая

мы видим, что сумма возможных работ переносных сил равна

Рис. 265.

При этом второе выражение для функции К получилось путем введения всей массы М системы и координат центра тяжести относительно осей Из него еще следует, что

Благодаря введению этих переносных сил мы можем рассматривать оси как неподвижные и применить уравнения Лагранжа к движению относительно этих осей, как если бы это движение было абсолютным. Обозначим через Т кинетическую энергию системы в движении относительно осей Уравнения движения будут

Член появляется вследствие добавления переносных сил инерции.

Действительно, возможная работа этих сил, равная о К, если зить ее в функции переменных имеет вид

Если заданные силы имеют силовую функцию то

и правые части уравнений движения можно написать в виде

Вычисление величины Т. Скорость точки относительно осей рассматриваемых как неподвижные, есть результирующая ее относительной скорости по отношению к осям и ее переносной скорости вместе с этими осями.

Проекции относительной скорости на оси равны производным проекции на те же оси равны так как при движении триэдра относительно осей начало О неподвижно; здесь, как и раньше, обозначают составляющие по осям мгновенной угловой скорости вращения со подвижного триэдра

Следовательно, имеем;

Положим:

После этого можно написать

Величина есть кинетическая энергия системы в ее относительном движении относительно осей она непосредственно выражается через переменные и их производные

Величина Те представляет собой кинетическую энергию системы, вызванную ее переносным вращением вокруг мгновенной оси триэдра она имеет, следовательно, выражение

где Н — момент инерции материальной системы относительно оси в момент

Наконец, для Т можно написать

Вектор а, проекции которого на подвижные оси равны

есть главный момент относительно точки О количеств относительного движения, и мы непосредственно имеем;

Преимущество геометрических форм, которые мы дали величинам , заключается в том, что в каждой конкретной задаче они непосредственно выражают эти величины в функции и и нет необходимости прибегать к преобразованию координат.