II. Теоремы, выводимые из принципа Даламбера

436. Частный случай теоремы проекций количеств движения.

Мы можем написать общее уравнение динамики, вытекающее из принципа Даламбера в виде

где в левой части суммирование распространяется на все точки системы, а в правой части только на те точки, к которым приложены заданные силы.

Делая некоторые частные предположения о характере наложенных связей, мы можем получить некоторые очень полезные результаты.

Допустим сначала, что связи позволяют системе совершать поступательное движение, параллельное оси Для такого перемещения имеем:

, и уравнение (12) примет вид

что выражает следующую теорему:

Если связи допускают, в каждый момент времени перемещение всей системы параллельно неподвижной оси, то производная по времени от суммы проекций количеств движения на эту ось равна сумме проекций заданных сил на ту же ось.

Эта теорема является частным случаем теоремы проекций количеств движения. Производная по времени от суммы проекций количеств движения на какую-нибудь ось всегда равна сумме проекций внешних сил на ту же ось. Но в общем случае проекции внешних сил содержат одновременно проекции заданных сил и реакций связей. Рассматриваемая здесь теорема применима к такой категории задач, в которых проекции внешних сил на ось не содержат реакций связей.

Например, если рассматривается движение тяжелого стержня, концы которого скользят по двум неподвижным поверхностям и то общая теорема применима к проекции движения на произвольную ось Но, проектируя внешние силы, необходимо брать также реакции обеих поверхностей и и рассматриваемая сейчас теорема неприменима, если поверхности выбраны произвольно.

Она может быть применима лишь в том случае, когда обе поверхности и являются цилиндрами с образующими параллельными оси так как тогда связи будут допускать перемещение всего стержня параллельно этой оси. В этом случае проекции нормальных реакций на ось равны нулю.

В общем случае можно видеть, что система допускает поступательное перемещение, параллельное оси если абсциссы входят в уравнения связей только в виде равностей.