III. Приложение принципа Даламбера к случаю трения скольжения
439. Метод и пример.
Рассмотрим систему, на которую наложены связи двух видов:
1°. Связи 
без трения, зависящие или не зависящие от времени.
2°. Связи 
заключающиеся в том, что некоторые точки 
вынуждены скользить с трением по заданным поверхностям 
Полная реакция 
поверхности 
действующая на точку 
является равнодействующей нормальной силы 
и касательной силы (трение), направленной в сторону, противоположную скорости точки и равной 
где 
коэффициент трения по поверхности 
Точно так же получаются полные реакции 
других поверхностей на другие точки 
По принципу Даламбера в каждый момент существует равновесие между силами инерции, заданными силами, реакциями связей 
без трения и реакциями 
связей 
Если, следовательно, системе сообщить произвольное возможное перемещение, то сумма работ всех сил, включая реакции связей, равна нулю. Но если, в частности, сообщить системе произвольное перемещение, допускаемое связями 
без трения и такое, что каждая точка 
вынуждена перемещаться нормально к соответствующей полной реакции 
то сумма работ реакций связей 
и сил 
будет отдельно равна нулю, и поэтому будет равна нулю также сумма работ заданных сил и сил инерции. Следовательно, уравнения движения получатся, если написать, что для всех возможных перемещений, которые допускаются связями 
которых каждая точка ту, 
перемещается нормально к соответствующей полной реакции 
сумма работ заданных сил и сил инерции равна нулю. (Аппель, Comptes rendus, т. CX1V, 1892, стр. 331.)
Пример. С этой точки зрения рассмотрим еще раз задачу III 
(рис. 214). В йтой задаче точки А и В скользят с трением по осям 
Полная реакция 
оси 
действующая на точку А, является биссектрисой угла 
а полная реакция 
оси 
действующая на точку В, является биссектрисой угла 
Чтобы получить возможное перемещение лестницы, при котором работы реакций 
и 
равны нулю, нужно сообщить ей такое возможное перемещение, при котором А и В перемещаются нормально к реакциям 
и 
. По свойству мгновенного центра вращения это приводится к тому, чтобы повернуть лестницу на бесконечно малый угол вокруг точки 
пересечения реакций 
и 
Так как уравнения прямых, вдоль которых направлены эти реакции, суть
то для координат точки 
имеем:
Теперь нужно выразить, что при возможном перемещении, которое получится, если прямую 
повернуть вокруг точки 
на бесконечно малый угол, сумма работ веса и сил инерции равна нулю. Это означает, что равна нулю сумма моментов относительно точки 
веса и сил инерции. Если обозначить через 
всю массу лестницы и через 
массу точки лестницы с координатами х и у, то получим
где сумма распространена на все точки. Замечая, что величины 
Равны соответственно величинам 
и заменяя 
их значениями, мы получим после сокращений уравнение (5) п. 371 (пример III).
