474. Примеры.

1°. Приложение к движению волчка по горизонтальной плоскости. Эта задача была решена в как пример движения однородного тяжелого тела вращения, скользящего по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями пп. 407 и 408, мы видим, что положение системы зависит от пяти параметров играющих роль параметров Координата С центра тяжести связана с соотношением Для сокращения письма мы предположим, что масса волчка принята равной единице . Тогда кинетическая энергия будет

С другой стороны, силовая функция есть

Переменные определяются уравнениями которые здесь имеют вид:

Эти уравнения нужно разрешить относительно Получаем

Внося эти значения в выражение для Т и замечая, что так как Т является однородной функцией относительно то в рассматриваемом случае находим:

Мы можем теперь написать канонические уравнения:

и далее:

где производную мы не написали явно. Эти канонические уравнения (3) и (4) определяют в функции Первая группа уравнений, очевидно, идентична уравнениям (1). Из второй группы имеем сразу первые интегралы

откуда, подставляя эти значения в уравнения (1) и (3), получаем

Эти четыре первых интеграла совпадают с теми, которые мы нашли непосредственно (п. 407) путем применения общих теорем. Два первых выражают, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равномерное движение; третий показывает, что составляющая мгновенной

угловой скорости вращения постоянна; последний, — что в движении вокруг центра тяжести сумма моментов количеств движения относительно вертикали постоянна. Присоединяя к интегралам (5) интеграл энергии

мы получим все уравнения, найденные ранее.

Применим теперь теорему Якоби. Мы опять найдем те же интегралы. Уравнение с частными производными будет

Так как оно не содержит явно ни одну из переменных то полный интеграл можно найти в ниде

где — постоянные, а — функция только от . Подставляя это значение V в уравнение (6) и замечая, что равно мы получим для определения уравнение

Интегрируя, найдем

где для краткости положено

Таким образом, получаем полный интеграл

с пятью постоянными из которых ни одна не является аддитивной. Тогда уравнения движения в конечной форме будут

Следовательно, дифференцируя под знаком интеграла и принимая во внимание, что в зависит от получим:

Первые четыре уравнения определяют последовательность положений волчка; из последнего уравнения определяем время. Заменяя в двух первых уравнениях последний интеграл через приводим их к виду

Таким образом, вновь получается тот результат, что проекция центра тяжести на горизонтальную плоскость движется прямолинейно и равномерно. Наконец, чтобы получить в конечной форме переменные составим равенства откуда

2°. Пример, в котором связи зависят от. времени. Применим метод Якоби к задаче, изложенной в п. 455.

Рассмотрим однородный тяжелый стержень, движущийся без трения в плоскости, которая вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, лежащей в этой плоскости.

Положение системы зависит от трех параметров играющих роль параметров

Допустим, что масса М равна единице. Получим, как это было найдено ранее, следующие выражения для кинетической энергии и силовой функции

Нужно положить

после чего получим уравнения

непосредственно разрешенные относительно Далее нужно положить

Тогда после замены их значениями и после сокращения получим

Теперь функция будет иметь вид

Теперь легко написать канонические уравнения. Можно убедиться, что они совпадают с уравнениями, полученными в п. 455.

Применим метод Якоби. Уравнение с частными производными будет

или

Ищем полный интеграл уравнения в виде

где функции переменных тождественно удовлетворяют уравнению

Так как в уравнении с частными производными переменные рассматриваются как независимые, то это соотношение может иметь место только тогда, когда каждая из величин, стоящих в скобках, в отдельности постоянная. Необходимо, следовательно, принять

Подставляя в предыдущее уравнение, получим

Три последних уравнения определяют при помощи квадратур, и мы получаем полный интеграл

с тремя постоянными из которых ни одна не аддитивная. Уравнения движения в конечной форме будут

и

откуда, обозначая через 0 величину получаем:

Из этих уравнений можно определить в функции и шести постоянных Первые два, принимая во внимание третье, могут быть написаны в виде

откуда получаем для выражения, совпадающие с найденными в п. 455. Наконец, параметры имеют значения: