Переменные определяются уравнениями 
которые здесь имеют вид:
Эти уравнения нужно разрешить относительно 
Получаем
Внося эти значения в выражение для Т и замечая, что так как Т является однородной функцией относительно 
то в рассматриваемом случае 
находим:
Мы можем теперь написать канонические уравнения:
и далее:
где производную мы не написали явно. Эти канонические уравнения (3) и (4) определяют 
в функции 
Первая группа уравнений, очевидно, идентична уравнениям (1). Из второй группы имеем сразу первые интегралы
откуда, подставляя эти значения в уравнения (1) и (3), получаем
Эти четыре первых интеграла совпадают с теми, которые мы нашли непосредственно (п. 407) путем применения общих теорем. Два первых выражают, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равномерное движение; третий показывает, что составляющая 
мгновенной
угловой скорости вращения постоянна; последний, — что в движении вокруг центра тяжести сумма моментов количеств движения относительно вертикали 
постоянна. Присоединяя к интегралам (5) интеграл энергии
мы получим все уравнения, найденные ранее.
Применим теперь теорему Якоби. Мы опять найдем те же интегралы. Уравнение с частными производными будет
Так как оно не содержит явно ни одну из переменных 
то полный интеграл можно найти в ниде
где 
— постоянные, а 
— функция только от 
. Подставляя это значение V в уравнение (6) и замечая, что равно 
мы получим для определения 
уравнение
Интегрируя, найдем
где для краткости положено
Таким образом, получаем полный интеграл
с пятью постоянными 
из которых ни одна не является аддитивной. Тогда уравнения движения в конечной форме будут
Следовательно, дифференцируя под знаком интеграла и принимая во внимание, что в зависит от 
получим:
Первые четыре уравнения определяют последовательность положений волчка; из последнего уравнения определяем время. Заменяя в двух первых уравнениях последний интеграл через 
приводим их к виду
Таким образом, вновь получается тот результат, что проекция центра тяжести на горизонтальную плоскость движется прямолинейно и равномерно. Наконец, чтобы получить в конечной форме переменные 
составим равенства 
откуда
2°. Пример, в котором связи зависят от. времени. Применим метод Якоби к задаче, изложенной в п. 455.
Рассмотрим однородный тяжелый стержень, движущийся без трения в плоскости, которая вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, лежащей в этой плоскости.
Положение системы зависит от трех параметров 
играющих роль параметров 
Допустим, что масса М равна единице. Получим, как это было найдено ранее, следующие выражения для кинетической энергии и силовой функции
Нужно положить
после чего получим уравнения
непосредственно разрешенные относительно 
Далее нужно положить
Тогда после замены 
их значениями и после сокращения получим
Теперь функция 
будет иметь вид
Теперь легко написать канонические уравнения. Можно убедиться, что они совпадают с уравнениями, полученными в п. 455.
Применим метод Якоби. Уравнение с частными производными будет
или
Ищем полный интеграл уравнения в виде
где функции 
переменных 
тождественно удовлетворяют уравнению
Так как в уравнении с частными производными переменные 
рассматриваются как независимые, то это соотношение может иметь место только тогда, когда каждая из величин, стоящих в скобках, в отдельности постоянная. Необходимо, следовательно, принять
Подставляя 
в предыдущее уравнение, получим
Три последних уравнения определяют 
при помощи квадратур, и мы получаем полный интеграл
с тремя постоянными 
из которых ни одна не аддитивная. Уравнения движения в конечной форме будут
и
откуда, обозначая через 0 величину 
получаем:
Из этих уравнений можно определить 
в функции 
и шести постоянных 
Первые два, принимая во внимание третье, могут быть написаны в виде
откуда получаем для 
выражения, совпадающие с найденными в п. 455. Наконец, параметры 
имеют значения:
как пример движения однородного тяжелого тела вращения, скользящего по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями пп. 407 и 408, мы видим, что положение системы зависит от пяти параметров 
играющих роль параметров 
Координата С центра тяжести связана с 
соотношением 
Для сокращения письма мы предположим, что масса волчка принята равной единице 
. Тогда кинетическая энергия будет
