493. Уравнение множителя.

Исходя из этих соотношений, легко образовать дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция М и в котором интегралы предполагаемые известными, оказываются исключенными. Действительно, Якоби заметил, что определители удовлетворяют тождеству

Чтобы доказать это тождество (6), рассмотрим определитель

где обозначают произвольных постоянных. Раскрывая этот определитель, получим:

Отсюда видно, что Заметим теперь, что входят в только через производные за исключением производных Положим для сокращения Имеем

откуда

Сумма , для которой нужно доказать, что она равна нулю, является таким образом линейной однородной функцией вторых производных кроме того, всегда различны. Следовательно, группируя подобные члены, получим

Теорема будет доказана, если мы покажем, что

Но левая часть уравнения (7) может быть написана еще так:

Если мы рассмотрим в определителе первую строку и ту, которая содержит функцию , т. е. строку, а затем столбцы то члены, находящиеся на пересечений этих строк и столбцов, будут следующие:

Отсюда на основании хорошо известных свойств определителей вытекает, что может быть написано в виде

где уже не содержит членов содержит эти члены линейно. Теперь достаточно продифференцировать, чтобы найти

откуда вытекает справедливость формулы (7) и теоремы, выражаемой тождеством (6).

Если сопоставить тождество (6) с формулами (5), то мы увидим, что функция М удовлетворяет тождеству

Таково уравнение множителя. Для расширения этого понятия наименование множителя дают любому решению уравнения (8).

Легко доказать следующую теорему.

Частное двух множителей, т. е. двух любых решений уравнения (8), является интегралом.

Пусть, в самом деле, М и М — два множителя. Из уравнения (8) имеем

и точно так же

Умножив равенство (9) на —М, а последнее на М и сложив результаты, получим

или

Следовательно, действительно является интегралом.

Наоборот, произведение множителя на интеграл есть также множитель. Примечание. Если сумма равна нулю, то является множителем.