479. Условие, при котором f=С, есть первый интеграл; скобки Пуассона.

Пусть

есть первый интеграл канонических уравнений движения (1). Так как функция должна, по предположению, оставаться постоянной при замене в ней параметров произвольным решением уравнений (1), то полная производная от по должна быть равна нулю:

Заменяя и их значениями (1) и написав все члены в другом порядке, получим

Так как это условие должно выполняться для любого решения уравнений (1), то оно должно выполняться тождественно, каковы бы ни были . В самом деле, так как это условие должно выполняться в течение всего времени движения, то оно должно выполняться и в произвольный момент рассматриваемый как начальный момент, а известно, что в Этот момент можно дать параметрам произвольные начальные значения. Следовательно, условие должно выполняться, когда входящим в него переменным даются произвольные значения, т. е. оно должно удовлетвориться тождественно.

Скобки Пуассона. Пусть — две произвольные функции от и . Мы будем пользоваться символом для обозначения выражения

называемого скобками Пуассона.

При таком обозначении условие того, что есть первый интеграл, напишется так:

Отметим некоторые свойства этих скобок, которые будут нам полезны в дальнейшем.

Если одна из функций или постоянна, то скобка равна нулю; если переставить или у одной из функций или переменить знак, то скобка переменит знак:

Функции могут содержать время явно; взяв частную производную от по получим выражение, которое может быть написано следующим образом:

т. е.