V. Приложение уравнений Лагранжа к относительному движению

454. Первый способ, не связанный с теорией относительного движения.

Для нахождения относительного движения системы по отношению к осям совершающим известное движение, достаточно применить уравнения Лагранжа к абсолютному движению, выбирая в качестве параметров переменные определяющие положение системы относительно подвижных осей. Эти же параметры определяют, очевидно, положение системы и относительно неподвижных осей так как движение осей известно.

Абсолютная кинетическая энергия системы будет функцией от , быть может, также от . С другой стороны, если сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, имеющими место в момент т. е. перемещение, которое получится, если, оставляя постоянным, сообщить параметрам бесконечно малые произвольные приращения то сумма работ приложенных сил, кроме реакций связей, будет выражаться следующим образом: Тогда уравнения движения будут

Если заданные силы имеют силовую функцию то величины будут равны

Для вычисления Та не обязательно составлять выражения абсолютных координат в функции . Абсолютная скорость точки есть результирующая ее относительной скорости по отношению к движущимся осям и ее переносной скорости при движении вместе с этими осями. Если обозначить через координаты точки и штрихами — производные по времени, то проекции скорости на будут Что касается переносной скорости то это будет скорость, которой обладала бы точка если бы она была связана с осями Она является, следовательно, результирующей двух скоростей: поступательной скорости , равной и параллельной скорости точки О, и скорости, вызванной вращением с угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через точку О. Обозначая через проекции скорости и через — проекции угловой скорости на подвижные оси, мы получим для проекции переносной скорости на те же оси выражения Следовательно, проекции абсолютной скорости точки на подвижные оси равны мы имеем:

Это выражение позволяет вычислить в функции и так как координаты различных точек суть функции параметров , быть может, времени являются известными функциями времени.

Рис. 264.

455. Пример.

Рассмотрим неподвижную вертикальную ось и плоскость Р, проходящую через эту ось и вращающуюся вокруг нее с постоянной угловой скоростью Найти движение однородного тяжелого стержня, скользящего без трения по этой плоскости (рис. 264).

Требуется найти относительное движение стержня по отношению к осям проведенным в движущейся плоскости Р. Положение стержня относительно этих осей определяется тремя независимыми параметрами: координатами центра тяжести и углом между стержнем и линией параллельной оси Абсолютная скорость какой-нибудь точки стержня есть результирующая ее относительной скорости лежащей в плоскости и ее переносной скорости Эта последняя является скоростью, которой обладала бы точка если бы она была неизменно связана с движущейся плоскостью. Следовательно, она равна где х — абсцисса точки и перпендикулярна к плоскости Таким образом,

переносная и относительная скорости взаимно-перпендикулярны, и мы имеем

В таком случае для абсолютной кинетической энергии Т имеем

Вычислим оба члена отдельно. Относительное движение стержня является движением в плоскости кинетическая энергия в этом движении по теореме Кёнига будет

где — момент инерции Стержня относительно его центра . С другой стороны, есть момент инерции относительно оси который равен моменту инерции относительно параллельной оси увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между осями т. е. увеличенному на Если через обозначить расстояние то расстояние от какой-нибудь точки до оси есть и сумма равна или Следовательно,

и абсолютная кинетическая энергия окончательно принимает вид

Так как единственной заданной силой является вес приложенный в О, то существует силовая функция Применяя последовательно уравнения Лагранжа к параметрам и сокращая на М, получим три уравнения движения:

определяющие в функции . Сначала имеем

Эти уравнения определяют относительное движение центра тяжести. Третье уравнение, которое определяет 0 в функции уже встречалось у нас в задаче, рассмотренной в п. 366.

Следует отметить, что здесь Т не будет однородным относительно Это объясняется тем, что связи, наложенные на систему, зависят от времени: стержень скользит в плоскости, совершающей заданное движение.

Примечание. В предыдущем мы предполагали стержень свободным во вращающейся плоскости. Допустим, что два его конца А и В должны скользить по осям как в задаче п. 420. Тогда не будут независимыми и, обозначив через длину стержня, получим

Теперь надо выразить Та и через единственный независимый параметр для чего достаточно в найденных выше выражениях заменить координаты 5 и их полученными здесь значениями. Тогда

и уравнение движения будет

что совпадает с уравнением, найденным ранее другим путем (п. 420).

456. Второй способ, основанный на теории относительного движения.

Допустим, что требуется найти движение системы, по отношению к осям перемещающимся известным нам образом. Положение системы относительно этих осей зависит от некоторого числа геометрически независимых параметров . С другой стороны, система находится под действием заданных сил, и если, дав параметрам приращения сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, то сумма элементарных работ этих сил будет иметь вид

Мы можем рассматривать движущиеся оси как неподвижные при условии присоединения к силам, действительно действующим на каждую точку массы переносных и кориолисовых сил инерции. Пусть

— сумма возможных работ этих фиктивных сил на перемещении Тогда можно будет применить уравнения Лагранжа к движению системы относительно осей рассматриваемых как неподвижные. Для итого нужно будет составить выражение кинетической энергии системы в ее движении относительно этих осей; это выражение будет функцией от , может быть, времени уравнения движения будут

Легко применить этот метод ко всем задачам, рассмотренным ранее в теории относительного движения.