II. Теорема Якоби и ее приложения

472. Теорема Якоби.

Теорема Якоби применима к каноническим уравнениям, в которых Н является произвольной функцией переменных т. е. функцией вида

Теорема основана на том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого уравнения с частными производными первого порядка. Она сводит интегрирование канонических уравнений к разысканию полного интеграла этого уравнения. Формулируется эта теорема следующим образом.

Пусть дано уравнение в частных производных первого порядка

определяющее V в функции переменных рассматриваемых как независимые. Если известен полный интеграл

этого уравнения, содержащий произвольных постоянных из которых ни одна не является аддитивной, то конечные уравнения движения, т. е. общие интегралы канонических уравнений, имеют вид

с произвольными постоянными .

В п. 297 мы доказали эту теорему в предположении, что число переменных равно То же доказательство справедливо и в общем случае, когда — произвольное целое число. Нет смысла снова возвращаться к этому доказательству. Следовательно, общую теорему можно считать доказанной. Уравнения определяют в функции времени и постоянных Эти выражения определяют движение системы. Уравнения определяют после этого вспомогательные переменные