369. Возможные разрывы в уравнениях движения.

1°. Пусть — относительная скорость по отношению к телу В находящейся с ним в соприкосновении материальной точки тела А. До тех пор, пока отлично от нуля, происходит скольжение. Если то имеют место качение и верчение тела А на теле В и тела В на теле А. Допустим, что в начальный момент скорость Нужно узнать, будут ли в следующие моменты оба тела катиться и вертеться или они будут скользить одно по другому. Чтобы ответить на этот вопрос, поступаем следующим образом. Предполагаем, что имеют место качение и верчение, т. е. что скорость остается равной нулю. Тогда реакция тела В на тело А на основании принятых нами законов будет состоять из нормальной реакции и касательной реакции причем и направление силы неопределенно. При этих условиях составляем уравнения задачи и вычисляем нормальную реакцию и касательную реакцию Если найденное значение окажется меньше, чем то сделанное предположение будет правильным, а именно: движение тела А по телу В будет качением и верчением. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока сила не сделается больше, чем Начиная с этого момента, будут одновременно происходить скольжение, качение и верчение и уравнения нужно будет изменить. Если, наоборот, найденное значение будет с самого начала больше, чем то движение качения и верчения без скольжения будет невозможно. С самого начала будет происходить скольжение и нужно будет написать уравнения движения, применяя законы трения скольжения при движении. Это движение

скольжения будет происходить до тех пор, пока из уравнений, предполагаемых проинтегрированными, будут получаться для значения, отличные от нуля. Если в некоторый момент выражение обратится в нуль, то возникнет вопрос о том, будет ли скорость начиная с этого момента, оставаться равной нулю или нет. Тогда перед нами опять возникнет задача, решение которой мы только что указали.

2°. Если тело А касается тела В острием и если в некоторый момент относительная скорость этой точки по отношению к телу В равна нулю, то возникнет вопрос о том, будет ли скорость в момент оставаться равной нулю или будет отличной от нуля, т. е. будет ли точка оставаться по отношению к телу В неподвижной или нет. Для этого поступаем как в предыдущем общем случае: последовательно делаем оба предположения и выясняем, на каком из них нужно остановиться.

3°. Рассмотрим еще один вид разрывности в уравнениях, который важно отметить. Вне зависимости от того, имеет ли место скольжение или качение, может случиться, что алгебраическое значение реакции вначале положительное, обращается в некоторый момент в нуль, а зятем становится отрицательным. Тогда, если тела могут отделиться друг от друга, то в момент они отделятся. Если тела не могут отделиться друг от друга, то нормальная реакция изменит знак. Так как сила трения существенно положительна, то вследствие того, что реакция отрицательна, силу трения нужно будет в случае скольжения принять равной — а в случае качения принять меньшей, чем —

Следовательно, начиная с момента необходимо будет изменить уравнения движения, заменив коэффициентом Если не соблюсти эту предосторожность, то, начиная с момента уравнения будут представлять движение, в котором касательное воздействие В на А стремится увеличить относительную скорость точки тела А по отношению к телу В, что абсурдно.