I. Общие уравнения
381. Вспомогательные сведения из геометрии. Переменные, определяющие положение подвижного триэдра относительно неподвижного триэдра с той же вершиной.
Рассмотрим прямоугольный неподвижный триэдр 
и прямоугольный подвижный триэдр Охуг, ориентированный так же, как неподвижный. Мы будем предполагать, что в обоих триэдрах вращение на 90° в положительном направлении вокруг оси 
переводит ось х в ось у. В аналитической геометрии положение триэдра Охуг определяют обычно девятью косинусами углов, которые образуют оси Охуг с осями 
Между этими девятью косинусами существуют шесть известных соотношений, так что три из косинусов, подходящим образом выбранных, могут рассматриваться как произвольные. Отсюда ясно, что эти девять косинусов можно выразить в функции трех независимых параметров.
Наиболее употребительными переменными в механике являются углы Эйлера, а в современной геометрии — параметры Олинда Родрига (Olinde Rodrigues) и те, которые из них вытекают.
Углы Эйлера. Пусть 
(рис. 224) есть линия пересечения плоскости 
с плоскостью 
Выберем произвольно на этой прямой положительное направление 
и обозначим через 
угол между ним и направлением 
причем этот угол будем считать положительным в сторону положительного вращения от 
к 
вокруг 
Прямая 
перпендикулярна к плоскости 
Пусть 
— угол между 
считаемый положительными от 
в сторону положительного вращения вокруг 
Ось 
перпендикулярна к плоскости 
Пусть 
— угол, на который нужно повернуть прямую 
в положительном направлении вокруг 
чтобы совместить ее с Ох. Угол 
будет тогда равен 
.
Три угла 
очевидно, не зависят друг от друга и могут быть выбраны совершенно произвольно. Каждой системе значений этих углов соответствует одно и только одно положение подвижного триэдра Охуг.
Пользуясь терминами, употребляемыми в астрономии, прямую 
иногда называют линией узлов, угол 
— углом прецессии, угол 
— углом нутации и 
— углом собственного вращения. Эти выражения всегда употребляются в случае, когда оси Охуг связаны с телом вращения вокруг оси 
Рис. 224.
Формулы О линда Родрига. Легко выразить девять косинусов в функции углов 
. Мы не останавливаемся здесь на выводе этих формул, которые можно найти во всех курсах аналитической геометрии. Мы ограничимся лишь их написанием:
Если положить
то непосредственно эти четыре отношения окажутся связанными зависимостью
Выражая теперь девять косинусов в функции четырех отношений и исключая затем 
при помощи последнего соотношения, получим формулы Родрига
и шесть остальных аналогичных формул, определяющих девять косинусов в виде рациональных функций трех параметров, являющихся тремя отношениями трех из величин 
к четвертой.
Но можно идти еще дальше и еще более упростить классические формулы, выражающие координаты 
точки относительно неподвижных осей 
через координаты х, у, z той же точки относительно осей 
Для этого вводят четыре величины
связанные соотношением
Тогда можно показать, что формулы преобразования координат приводятся к одной и той же линейной подстановке
выполняемой одновременно для двух величин и и и.
Относительно формул Олинда Родрига мы отсылаем читателя к Lejons de Cinematique Кёнигса (Koenigs) и, в частности, к заметке Дарбу, помещенной в конце этой книги; далее относительно приведения формул преобразования координат к линейной подстановке мы отсылаем к той же книге. Кёнигса, стр. 337, к сочинению Клейна (Klein) и Зоммерфельда (Sommer-feld, Ueber die Theorie des Kreisels, гл. 1) и к заметке Лакура (Lасоиг, Nouvelles Annales de Mathematique, 3 serie, т. XVIII, декабрь 1899).
