ГЛАВА XXI. СВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО

I. Общие сведения

404. Уравнения движения.

Для того чтобы знать движение свободного твердого тела, достаточно знать движение какой-нибудь точки тела, например, центра тяжести и движение тела вокруг этой точки.

Представим себе три неподвижные прямоугольные оси . (рис. 236) и обозначим через координаты центра тяжести О относительно этих осей. Если обозначить через М массу тела, то уравнения движения центра тяжести дадут

где в правых частях стоят суммы проекций сил, приложенных к телу, на три оси

Рис. 236.

Проведем теперь через центр тяжести О три оси постоянного направления, например, параллельные неподвижным осям

Движение тела относительно осей является движением тела вокруг неподвижной точки. Если ввести три оси неизменно связанные с телом, то положение тела относительно осей будет определяться тремя углами Эйлера которые оси образуют с осями Раньше мы получили уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки, применяя теорему моментов количеств движения. Но эта теорема применена также и для относительного движения вокруг центра тяжести (п. 350). Следовательно, к этому движению могут быть приложены все уравнения, установленные ранее для движения тела вокруг неподвижной точки.

Приложим, в частности, уравнения Эйлера. Примем за оси связанные с телом, главные оси инерции в точке О и обозначим через А, В, С три главных момента инерции. В каждый момент времени скорости точек тела относительно осей будут такими же, как если бы тело совершало мгновенное вращение с угловой скоростью составляющие которой по осям равны Главный момент относительно точки О количеств относительных движений есть вектор имеющий проекции на оси Тогда, обозначая через суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно тех же осей, получим уравнения Эйлера:

Таким образом, мы имеем шесть уравнений (1) и (2), определяющих шесть параметров в функции . В общем случае правые части этих уравнений зависят от шести параметров, а также и от их первых производных, если силы зависят от скоростей, так что приходится рассматривать совместно все шесть уравнений.

В случае, когда твердое тело не вполне свободно, шесть перечисленных параметров связаны некоторыми соотношениями. Но тогда в уравнения движения войдут неизвестные реакции.

Если оси являются главными осями инерции для точки то кинетическая энергия тела в его относительном движении вокруг центра тяжести будет

Простейшие примеры. В трех следующих примерах можно проинтегрировать раздельно сначала уравнения (1), а затем уравнения (2).

1°. Тяжелое тело в пустоте. Центр тяжести тела будет двигаться как тяжелая материальная точка, т. е. будет описывать параболу. Далее, так как внешние силы — веса отдельных точек, имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести то величины равны нулю. Движение тела вокруг точки идентично с движением твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, когда силы имеют равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это движение будет такое же, как в случае Эйлера — Пуансо.

2°. Твердое тело, частицы которого притягиваются неподвижным центром О пропорционально массе и расстоянию. Притяжения имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести и равную притяжению, которое вызывала бы точка О, если бы вся масса была сосредоточена в точке Следовательно, точка описывает эллипс с центром в точке О (п. 223) и движение вокруг точки является движением по Пуансо.

3°. Планета, которая предполагается состоящей из концентрических однородных сферических слоев. В теории притяжения доказывается, что если планета является твердым телом, образованным из концентрических однородных сферических слоев, то ньютоновские силы, с которыми какая-нибудь внешняя точка притягивает к себе элементы планеты, имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести и равную, притяжению точкой всей массы планеты, если предполагать ее сосредоточенной в точке Тогда, каково бы ни было число притягивающих точек результирующая сил притяжений, действующих на планету, будет приложена в точке и будет такой же, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этой точке. Движение планеты вокруг своего центра тяжести будет тогда таким же, как движение твердого тела вокруг неподвижной точки когда силы имеют равнодействующую, проходящую через эту точку. Но в данном случае эллипсоид инерции для точки будет, очевидно, сферой и любая ось, проходящая через точку будет главной. Следовательно, движение вокруг точки будет представлять собой вращение вокруг оси, сохраняющей постоянное направление в пространстве и в теле. Явлений прецессии и нутации не будет.