III. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

394. Интегралы, получаемые из общих теорем.

Рассмотрим тяжелое твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О. Примем в качестве неподвижных осей три оси из которых ось направлена вертикально вверх; в качестве подвижных осей связанных с телом, примем три главные оси инерции в точке О с теми же обозначениями, что и раньше. Обозначим через М всю массу тела, через

координаты его центра тяжести О относительно неподвижных осей и через — координаты той же точки О относительно подвижных осей. Совершенно очевидно, что координаты постоянны. Тогда можно написать два следующих первых интеграла:

1°. Интеграл кинетической энергии. Так как кинетическая энергия тела равна и единственной силой, действующей на тело, является его вес приложенный в точке О, то

2°. Интеграл площадей. Внешними силами, действующими на тело, являются реакция неподвижной точки, пересекающая ось и сила тяжести параллельная этой оси. Сумма их моментов относительно оси равна нулю; следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси постоянна-, теорема площадей применима к проекции движения на плоскость Мы видели, что проекции главного момента количеств движения на оси равны Поэтому его проекция на ось равна

Так как эта проекция постоянна, то мы имеем второй интеграл

Если тело произвольно и расположение в нем центра тяжести также произвольно, то нет других интегралов, кроме двух указанных. Только при некоторых частных предположениях о форме тела и о расположении в нем центра тяжести можно найти третий интеграл. Такими частными случаями, уже получившими решение, являются следующие:

1°. Случай Эйлера и Пуансо. Тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О. Это — случай, исследованный в предыдущем разделе.

2°. Случай Лагранжа и Пуассона. Эллипсоид инерции, построенный в неподвижной точке, является эллипсоидом вращения, и центр тяжести находится на оси вращения.

3°. Случай Ковалевской. Эллипсоид инерции, построенный в неподвижной точке, является эллипсоидом вращения вокруг, например, оси центр тяжести находится в плоскости экватора и выполняется соотношение

Мы рассмотрим наиболее простой случай, и именно случай Лагранжа и Пуассона. Эллипсоид инерции в точке О предполагается эллипсоидом вращения, и центр тяжести находится на оси вращения.