459. Пример.

Однородное тяжелое тело вращения подвешено в точке О своей оси симметрии Кроме того, эта ось должна оставаться в некоторой плоскости, неподвижной относительно Земли. Найти движение тела относительно земных предметов, принимая во внимание вращение Земли.

Рис. 267.

Пусть (рис. 267) — связанные с телом его главные оси инерции для точки О и пусть — связанные с Землей оси, относительно которых надо найти движение. Выберем в качестве плоскости ту плоскость, в которой движется и в качестве оси — проекцию на эту плоскость вектора равного вектору угловой скорости вращения Земли (ось Ом параллельна земной оси и направлена с юга на север). Выберем направление оси относительно плоскости в ту же сторону, куда направлена ось Центр тяжести предполагается лежащим на положительной части оси на расстоянии от неподвижной точки.

Положение тела относительно осей зависит от двух параметров, например, от углов Эйлера у и образуемых осями с осями

Третий угол Эйлера в рассматриваемом случае равен так как

Вычислим . Величина есть кинетическая энергия тела в его движении относительно осей Движение тела относительно этих осей

является движением твердого тела вокруг неподвижной точки. Следовательно, если обозначить через составляющие по главным осям мгновенной угловой скорости тела относительно осей то согласно общим формулам (п. 382) мы имеем

Вычислим также Т. Обозначив через а величину главного момента и относительно точки О количеств относительного движения по отношению к осям получим:

Проведем прямую пересечения плоскости с плоскостью Тогда

Вектор а имеет по осям составляющие На основании значений и полученных выше, его проекция на ось равна нулю, а его проекция на ось равна Следовательно, вектор есть сумма двух векторов, из которых один равен и лежит на оси а другой равен или и лежит на оси Обозначив через а постоянный угол найдем проекцию вектора а на ось

Поэтому Т равно произведению этой величины на

Следовательно, для выражения величины , которую мы для краткости обозначим через , имеем:

С другой стороны, обозначим через с косинусы постоянных углов, которые образует направленная вниз вертикаль с осями и заметим, что координата С центра тяжести равна нулю, так как эта точка находится на оси вращения которая лежит в плоскости Тогда проекция отрезка на вертикаль будет

так как в плоскости ось образует с осью угол а длина обозначена через I и, следовательно, координаты равны . Если заметить, что ни , ни не содержат , то на основании равенства получаем два уравнения движения:

Можно получить два первых интеграла этих уравнений. Прежде всего непосредственно имеем т. е.

Далее в уравнениях (1) можно выполнить преобразования, приводящие к обобщенному интегралу энергии Пенлеве Для этого умножим

первое уравнение на , второе на и сложим. Таким путем получится соотношение, которое можно написать в виде

Так как не содержит то последняя группа членов в левой части равна . С другой стороны, выделяя в в часть второго порядка относительно и часть первого порядка, имеем

и уравнение (3) напишется в виде

откуда, интегрируя, получим

т. е.

Этот первый интеграл может быть, очевидно, получен независимо от метода Жильбера. Это интеграл энергии в применении к относительному движению по отношению к осям

Мы приложим найденные формулы к двум простым частным случаям.