401. О некоторых свойствах быстро вращающихся тел вращения.

Когда твердое тело вращения закреплено в одной из точек своей оси и быстро вращается вокруг нее, то при попытке изменить направление этой оси в пространстве путем приложения к ней сил возникают некоторые своеобразные явления, которые мы вкратце разберем.

Допустим, что тело вращения, закрепленное в точке О своей оси находится под действием таких сил, что сумма их моментов относительно оси вращения равна постоянно нулю. Чтобы легче представить себе совокупность этих сил, их можно привести, как мы это сейчас покажем, к одной силе перпендикулярной к оси и приложенной в определенной точке Н, взятой на этой оси, и к другой силе приложенной в точке О. Действительно, известно, что систему сил, приложенных к твердому телу, можно привести к одной силе Ф, приложенной в точке О, и к паре, вектор момента которой совпадает с главным моментом сил относительно точки О. Так как в рассматриваемом случае сумма моментов сил относительно равна нулю, то проекция вектора на ось тоже равна нулю. Следовательно, вектор момента пары перпендикулярен к оси и так как пару можно как угодно изменять в своей плоскости при условии сохранения ее момента, то в качестве плеча пары можно взять отрезок оси. Тогда пара будет состоять из силы приложенной в Я и перпендикулярной к оси, и из равной ей и противоположной силы приложенной в точке О. Силы можно сложить и получить одну силу приложенную в точке О. Таким образом, намеченное в начале приведение выполнено.

Сила уничтожается сопротивлением неподвижной точки О. Она не имеет никакого влияния на характер движения и имеет значение только при вычислении давления на точку О. Следовательно, движение происходит под действием только силы Мы видим, таким образом, что сформулированная общая задача всегда сводится к простому случаю; это случай, когда к оси вращения приложена только одна, перпендикулярная к ней, сила

Исследуем теперь эту задачу.

Возьмем подвижные оси предыдущего пункта, так что ось перпендикулярна к плоскости (рис. 234), а ось перпендикулярна к плоскости

Обозначим через составляющие силы по этим трем осям и через координату точки Н приложения этой силы. Моменты силы относительно осей суть

Третье из уравнений (61) предыдущего пункта теперь будет

а два остальных принимают вид

Допустим, что в начальный момент тело приведено во вращение вокруг оси и что никакая сила не действует . Тогда это вращательное движение будет продолжаться сколь угодно долго, ось будет сохранять свое направление в пространстве, ряд будут все время равны нулю. Это вытекает из элементарных свойств главных осей инерции

Определение силы которую нужно приложить в точке Н, чтобы сообщить оси заданное движение. Пусть тело находится в состоянии устойчивого вращения, о котором мы только что говорили. Воздействуем на точку Н силой таким образом, чтобы изменить направление оси, заставив точку Н описывать по заданному закону заданную кривую, которая обязательно будет лежать на сфере радиуса с центром в точке О.

Для аналитического определения движения, которое мы желаем сообщить точке Н оси достаточно задать 0 и в функции так как эти два угла определяют направление оси . Мы предполагаем, что движение, которое сообщается точке Н, удовлетворяет обычным условиям, т. е. что скорость и ускорение точки Н остаются меньше некоторого определенного предела или, что то же , которые являются функциями времени , а также их производные первого и второго порядков не превосходят по абсолютным значениям некоторого определенного предела X. При этих условиях величины

и их производные также остаются по абсолютным значениям меньше некоторого определенного предела X.

Если равно нулю, то сила, необходимая для того, чтобы произвести это движение, имеет некоторое значение получаемое в каждый

момент времени из формул (63), в которых

Абсолютное значение этой силы будет иметь тот же порядок, что и величины

Допустим, наоборот, что весьма велико по сравнению с пределом X (весьма быстрое начальное вращение вокруг оси Oz). Тогда сила способная сообщить точке Н такое же движение, получается из формул (63). Сравнивая с выражениями для имеем

Следовательно, когда и не слишком малы, сила очень сильно отличается от силы которая вызывала бы такое же движение точки Н при Таким образом получается объяснение того факта, что при попытке изменения рукой направления оси ощущается неожиданное сопротивление, тем большее, чем больше Более того, можно еще показать, что в каждый момент времени сила приблизительно перпендикулярна к элементарному перемещению, сообщаемому точке Н в этот момент. Точнее говоря, вектор, имеющий проекции , т. е. вектор геометрической разности перпендикулярен к элементарному перемещению точки и очень мало отличается по направлению от вектора так как вектор очень мал по сравнению с вектором Действительно, заметим, что абсолютная скорость точки Н оси имеет на оси проекции

Заменяя в уравнениях и их выражениями в функции получим

Эти формулы показывают, что вектор с проекциями и скорость точки Н с проекциями взаимно-перпендикулярны. Кроме того, мы видим, что модуль вектора равен модулю вектора умноженному на очень большой множитель Резюмируя изложенное, мы можем высказать следующее предложение, позволяющее определить величину и направление вектора когда задан вектор

Пусть и скорость, которою обладает конец вектора V, приложенного в точке Н, когда этот вектор вращается вокруг оси с угловой скоростью . Тогда вектор по величине и направлению равен и противоположен вектору и, умноженному на множитель

В самом деле, конец вектора V, приложенного в точке Н, имеет координаты

Если эта точка Н будет вращаться вокруг оси со скоростью то она приобретет скорость и, имеющую проекции

Тогда предыдущие формулы принимают вид

что и доказывает теорему.

Наоборот, если к точке Н приложить силу по величине порядка и если при движении, которое эта сила сообщит точке Н, скорость и ускорение последней будут по абсолютному значению очень малы по сравнению с то скорость точки Н в каждый момент времени будет почти перпендикулярна к направлению силы

В самом деле, из уравнений (63), в которых в членах величины ряд заменяются их значениями (66) в функции можно найти

В каждом из этих уравнений второй член в правой части очень мал. Следовательно, почти пропорциональны величинам что и доказывает теорему. Направление скорости вытекает из предыдущего предложения.

Указания на многочисленные интересные опыты, иллюстрирующие эти свойства, можно найти в книге Грюэ (Gruey) «Элементарная теория гироскопа» (Th6orie elementaire des Gyroscopes, Clermont - Ferrand, librairie Ferdinand Thibault, 1879), а также в брошюре того же автора Sur le Strephosсоре universel, ou Boite gyroscopique, изданной типографией Ше (Chaix) в 1883 г.

Вопрос о сопротивлении, испытываемом при попытке измененить направление оси быстро вращающегося тела, рассмотрен также в конце первого тома Theorie des Kreisels Клейна и Зоммерфельда.