389. Частные случаи.

Мы предположили, что ни один из двучленов не равен нулю. Совершенно различные виды движения представятся в зависимости от того, будет ли равняться нулю средний двучлен или один из крайних.

1°. Пусть сначала Мы видели (п. 388), что это условие может быть выполнено только, если начальные значения равны нулю. Тогда уравнение

показывает, что постоянно должны выполняться условия Мгновенная ось вращения совпадает, следовательно, с осью в течение всего времени движения и сохраняет в теле постоянное положение; но она неподвижна также и в пространстве, так как два первых уравнения показывают, что если и равны нулю, то угол тоже равен нулю. Мгновенная ось совпадает, следовательно, с осью неподвижной в пространстве. Тогда движение будет вращением вокруг неподвижной оси. На основании уравнения угловая скорость этого вращения равна

Мы вновь приходим здесь к свойству постоянных осей вращения. Тело, которому в начальный момент сообщено вращение вокруг оси являющейся главной осью инерции для неподвижной точки О, будет продолжать вращаться вокруг этой оси сколь угодно долго.

2°. Если то необходимо должно быть Тогда получится Мгновенная ось вращения, неподвижная в теле, направлена по . В пространстве она также неподвижна и направлена по так как вследствие равенства нулю величин из уравнений (20) получаем Следовательно, движение будет, как и в предыдущем случае, вращением вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью

То обстоятельство, что в обоих случаях ось вращения совпадает с осью является следствием того, что в качестве оси выбран главный момент количеств движения То обстоятельство, что в обоих случаях угловая скорость есть является следствием того, что а в общем случае обозначает проекцию мгновенной угловой скорости вращения на а в рассматриваемых случаях совпадает по направлению с

3°. Пусть, наконец, Исключая из двух первых уравнений (15), имеем

Следовательно, для того, чтобы имел место рассматриваемый случай, необходимо и достаточно, чтобы в начале движения было

т. е. чтобы

Если это условие выполнено, то на основании равенства (22) будет постоянно

Это показывает, что геометрическое место мгновенных осей в теле вырождается в плоскость проходящую через среднюю ось.

В рассматриваемом нами случае и модуль обращается в единицу, а все интегрирования могут быть выполнены в элементарных функциях. Действительно, дифференциальное уравнение для принимает вид

откуда, интегрируя и беря знак получаем:

Полагая, как и раньше, находим:

Так как то принимают значения

где по-прежнему равны ±1. Мы поставили перед множитель так как, в зависимости от того, будем ли мы брать в равенстве (23) знак или мы получим для значение с тем или иным знаком. Если, например, считать положительным, а — отрицательным, то нужно принять Тогда первое уравнение Эйлера потребует, чтобы было Такое определение знаков мы и примем. Когда неограниченно увеличивается, то как мы видим, стремится к пределу в то время как имеют пределом нуль. Поэтому мгновенная ось вращения стремится занять в теле предельное положение, совпадающее со средней осью эллипсоида инерции. В пространстве эта ось стремится к направлению или к направлению главного момента количеств движения так как уравнения (20) показывают, что должно стремиться к к нулю. Следовательно, предельное положение есть действительно Таким образом, движение стремится к равномерному вращению с угловой скоростью вокруг неподвижной оси.

Если в начальный момент времени равны нулю, то в уравнениях (24) нужно будет положить постоянную равной Тогда будут постоянно равны нулю, будет постоянно равно . В этом случае тело начнет вращаться вокруг главной оси инерции и это движение будет все время продолжаться.