481. Теорема Пуассона.
Если
суть два первых интеграла уравнений движения, то
будет третьим интегралом. Так как 
суть первые интегралы, то имеем тождественно
Требуется доказать, что 
будет также интегралом, т. е. что из двух тождеств (9) вытекает третье тождество
В самом деле, на основании тождества Пуассона, примененного к трем функциям 
имеем
Отсюда на основании равенств (9) и установленных выше свойств скобок находим
или также
что и доказывает, что 
есть тоже интеграл.
Отсюда, казалось бы, достаточно знать два интеграла уравнений движения, чтобы иметь возможность довести интегрирование до
конца, так как из этих двух интегралов можно вывести третий, комбинируя который с одним из предыдущих можно получить четвертый и т. д. Но может случиться, что 
приводится тождественно к постоянной или к функции уже полученных интегралов. Отсюда следует, что на практике эта теорема, будучи всегда справедливой, не будет обладать всей той ценностью, которую можно было бы приписать ей, судя по ее формулировке.
