368. Механический смысл полной энергии.

Пусть — энергия системы в момент Если к системе не приложено никакой внешней силы, то она все время будет сохранять свою энергию Приложим теперь к ней внешние силы таким образом, чтобы она перешла из рассматриваемого состояния в конечное состояние, для которого энергия равна нулю. Формула (2) представится теперь в виде

Следовательно, полная энергия системы равна по величине и противоположна по знаку той работе внешних сил, которую они должны произвести, чтобы перенести систему из рассматриваемого состояния в особое состояние, для которого полная энергия равна нулю.

Это особое состояние является состоянием покоя в особом положении где П равно нулю.

Рис. 197.

Так как положительно, то работа внешних сил, необходимых для осуществления указанного преобразования, отрицательна, т. е. система потребляет работу от внешних тел. Для большей ясности выведем сначала одно непосредственное следствие из уравнения (2).

Допустим, что система испытывает внешние воздействия только через посредство твердых тел, соприкасающихся с системой в одних и тех же точках или связанных с ней жесткими связями. Тогда внешними силами, приложенными к системе, являются действия на нее этих твердых тел. Очевидно, что система действует при этом на внешние твердые тела с силами равными и прямо противоположными силам, действующим на систему. Например, если твердое тело (рис. 197) находится в соприкосновении с системой в точке М, то на систему действует внешняя сила и наоборот, система оказывает на тело равное и прямо противоположное действие Когда система перемещается, обе равные и прямо противоположные силы приложенные к материальным точкам, находящимся в и получающим одинаковые перемещения, совершают равные и противоположные по знаку работы. Следовательно, сумма работ всех внешних сил, приложенных к системе, будет равна и противоположна по знаку сумме работ сил, с которыми система действует на находящиеся с нею в соприкосновении твердые тела:

Работа сил, с которыми система действует на соприкасающиеся с нею внешние тела, есть внешняя работа, совершенная или выполненная системой, и эта работа может быть, вообще говоря, как положительной, так и отрицательной.

Рассматривая движение системы с момента до момента мы нашли, что изменение энергии равно сумме работ внешних сил. Следовательно, имеем также

Таким образом, если система связана механически с внешней средой только посредством соприкасающихся с системой или связанных с ней жесткими связями твердых тел, то потерянная энергия равна работе, совершенной системой над внешними телами.

В частности, допустим, что система переходит из рассматриваемого состояния, где ее полная энергия равна в то конечное состояние, в котором ее полная энергия равна нулю, т. е. в состояние, в котором она неподвижна и занимает особое положение где Тогда предыдущее уравнение примет вид:

Следовательно, энергия, которою обладает система, равна внешней работе, которую она может совершить указанным выше способом, при переходе в состояние, в котором ее энергия равна нулю. Так как энергия существенно положительна и имеет минимумом нуль, то внешняя работа, которую может совершить система, при переходе из рассматриваемого состояния в состояние, где ее энергия равна нулю, является наибольшей из всех, которые она может совершить.

Вследствие этого можно высказать следующие предложения, которые мы заимствуем из статьи Мориса Леви (Maurice Levy, Sur le principe de l’dnergie, Gauthier-Villars, 1888):

Полная энергия системы в произвольный момент есть наибольшая полезная работа, которую можно получить, использовав приобретенные скорости и внутренние силы системы.

В этой формулировке предполагается, конечно, как мы это считали выше, что минимум функции П равен нулю.

Кинетическая энергия системы в какой-нибудь момент времени есть наибольшая полезная работа, которую можно получить, использовав только приобретенные к этому моменту различными точками скорости, без использования каких-нибудь действующих на систему внутренних сил.

Потенциальная энергия в какой-нибудь момент времени есть наибольшая полезная работа, которую можно получить,

использовав только внутренние силы системы, без использования приобретенными ее точками скоростей. Когда на систему действуют внешние силы, то говорят, что они являются движущими, если они увеличивают ее энергию, и сопротивлениями, если они уменьшают ее энергию.

Примеры. 1°. Материальные точки, притягивающиеся пропорционально расстоянию. Рассмотрим систему, состоящую из двух свободных точек с массами притягивающихся пропорционально расстоянию между ними. Сила их взаимодействия равна где и элементарная работа этой силы есть

Следовательно, для рассматриваемого случая

Эта функция всегда отрицательна, и только при она обращается в нуль и поэтому имеет максимум. Примем, тогда

Эта потенциальная энергия везде положительна, за исключением положения, в котором

Особым положением в рассматриваемом случае является, следовательно, то, при котором обе точки находятся в соприкосновении. Кинетическая энергия равна

и полная энергия есть

Предположим, что в момент, обе точки были неподвижны и находились в соприкосновении. Тогда Такое состояние будет продолжаться бесконечно, если не приложить внешних сил. Возьмем теперь обе точки в рукн и разведем их на расстояние сохранив их неподвижными. Для этого необходимо будет затратить некоторую работу Потенциальная энергия станет тогда равной кинетическая энергия будет равна нулю, и приращение — полной энергии будет равно затраченной внешней работе. Сообщим далее обеим точкам начальные скорости Для этого потребуется затратить некоторую работу потенциальная энергия сохранит свое значение а кинетическая энергия станет равной Полная энергия увеличится на величину равную затраченной

работе Если после этого система будет предоставлена самой себе, то будет постоянно удовлетворяться равенство

Полная энергия будет оставаться постоянной и ее нельзя будет изменить иначе, как приложив внешние силы. Эту полную энергию можно будет использовать, заставив систему производить внешнюю работу до момента, когда обе точки системы вновь будут находиться в соприкосновении и окажутся неподвижными. В этот момент полная энергия обратится в нуль. Работа, которую система может таким образом совершить, равна той энергии, т. е. той работе которая была затрачена вначале для сообщения системе ее энергии.

2°. Маятник. Рассмотрим систему, образованную Землей, предполагаемой неподвижной, и математический маятником массы т. Обозначим через высоту груза маятника над наинизшей точкой окружности, которую он описывает. Внутренними силами системы, образованной Землей и маятником, являются сила притяжения маятника Землей и сила, равная и противоположная ей, приложенная к центру Земли. Если маятник поднимается на то работа силы притяжения равна а работа силы, приложенной к центру Земли, равна нулю, так как эта точка неподвижна. Следовательно, сумма элементарных работ внутренних сил равна

Рис. 198.

Имеем

и

так что эта функция П положительна при всех положениях маятника и обращается в нуль в точке А (рис. 198), являющейся положением устойчивого равновесия. Если предположить, что в этом положении маятник сначала неподвижен, то полная энергия его в этот момент равна нулю. Чтобы поднять его отсюда на высоту надо затратить некоторую внешнюю работу Чтобы после этого сообщить маятнику скорость надо затратить еще работу Если затем предоставить систему самой себе, не прикладывая к ней никаких внешних сил, то ее энергия

будет оставаться постоянной. Эта энергия может быть использована для получения внешней работы путем приведения маятника обратно в его положение равновесия, в котором его скорость в самом начале была равна нулю.

3°. Колебания упругой пластинки. Рассмотрим упругую пластинку, конец которой А зажат неподвижно (рис. 199). Если на систему не действует никакая внешняя сила, то пластинка занимает положение устойчивого

равновесия АВ. Примем это положение за особое положение, в котором П равно нулю. С другой стороны, так как пластинка в этом положении неподвижна, то ее полная энергия будет также равна нулю.

Возьмем теперь конец В в руку и, сгибая пластинку, приведем ее в положение и в этом положении будем держать ее неподвижной. Для этого необходимо, чтобы сила давления руки совершила некоторую работу. Потенциальная энергия, которая вначале равнялась нулю, будет иметь в положении значение равное затраченной работе. Если теперь предоставить пластинку самой себе, то она придет в движение. По мере того как она будет приближаться к положению равновесия ее потенциальная энергия будет уменьшаться, но ее кинетическая энергия будет увеличиваться, причем так, что ее полная энергия постоянно остается равной Г. Когда пластинка проходит через положение равновесия ее потенциальная энергия равна нулю, но кинетическая энергия в этот момент максимальная и равна П. После перехода через положение потенциальная энергия будет увеличиваться, а кинетическая энергия будет уменьшаться, и это будет происходить до тех пор, пока пластинка не займет положение симметричное с где кинетическая энергия опять обратится в нуль.

Рис. 199.

После этого процесс повторяется.

Когда пластинка при помощи руки приведена в положение ее можно, очевидно, заставить производить внешнюю работу, например, ее можно использовать для поднятия тяжести.

4°. Часы. Отметим еще следующие простые примеры.

Заводя часы с гирями, мы увеличиваем потенциальную энергию системы, образованную часами и Землей. Толкнув затем маятник, мы увеличиваем в первое мгновение кинетическую энергию, которая вначале была равна нулю. Сообщенная таким образом полная энергия постепенно расходуется. Она расходуется на преодоление пассивных сопротивлений, и когда гиря снова опустится, часы остановятся: сообщенная энергия израсходуется вся.

Точно так же, заводя часы с пружиной, мы затрачиваем некоторую работу, которая увеличивает потенциальную энергию системы. Эта энергия затем расходуется на преодоление пассивных сопротивлений.

Система, на которую действуют внутренние силы, зависящие только от положения точек, обязательно консервативна.

Можно доказать это предложение, считая очевидным, что невозможно создавать работу без всяких затрат.

В самом деле, рассмотрим систему, на которую действуют внутренние силы, зависящие только от положения точек системы. Переведем ее из некоторого положения в некоторое положение через последовательность промежуточных положений, которую мы назовем множеством Мы предполагаем при этом, что система выходит из положения и приходит в положение имея и в том и в другом положении скорости, равные нулю. Тогда изменение кинетической энергии равно нулю и, согласно общей теореме кинетической энергии сумма работ как внутренних,

так и внешних сил равна нулю:

Здесь — работа внутренних сил, — работа внешних сил. Допустим для определенности, что работа отрицательна. Тогда работа положительна, т. е. необходимо затратить некоторую внешнюю работу для осуществления рассматриваемого перемещения.

Переведем теперь систему из того же положения в то же положение через другую последовательность промежуточных положений, предполагая по-прежнему, что в и в система не имеет скоростей. Тогда, обозначая через и работу внешних и внутренних сил, попрежнему имеем:

Если система возвращается из в через последовательность положений то работа внутренних сил будет — так как положения системы и внутренние силы будут теми же, а перемещения будут равны, но направлены противоположно предыдущим. Следовательно, получим также для работы внешних сил, когда система возвращается из в через последовательность положений

Было бы абсурдным предположить, что и различны. В самом деле, допустим, например, что Тогда Следовательно, переводя систему сначала из в через последовательность положений необходимо затратить работу а затем, переводя ее обратно из в через последовательность положений надо затратить работу Отсюда видно, что система способна отдать внешним твердым телам, находящимся с ней в соприкосновении, работу которая больше затраченной работы Таким образом, при возвращении системы в исходное положение была бы создана работа, которая при повторении этих операций неограниченно возрастала бы, что является невозможным. Следовательно, каковы бы ни были последовательности положений, через которые проходит система при переводе ее из одного положения в другое, и система является консервативной. Ее полная энергия может быть изменена только внешними действиями. В математической физике предполагают, что взаимодействия молекул зависят только от их положений и расстояний. Следовательно, в природе все системы должны быть консервативными.

О трении и сопротивлениях.

На первый взгляд может показаться, что материальные системы не являются консервативными. Может казаться, что внешняя работа, необходимая для того, чтобы заставить систему перейти без заметных начальной и конечной скоростей из одного положения в другое, не будет равна работе возвращаемой системой при обратном переходе из второго положения в первое. Так, если рукой сжать спиральную пружину, причем сжатие превзойдет некоторый предел, то пружина не вернется вполне в свое первоначальное состояние. Она, следовательно, вернет только часть затраченной внешней работы. Для того чтобы вернуть пружину в первоначальное состояние, надо будет приложить к ней натяжение, т. е. затратить новую работу.

В других случаях система, находящаяся в движении, на которую не действуют никакие внешние силы, кончает тем, что останавливается в положении устойчивого равновесия, для которого П равно нулю, так что ее полная энергия обращается в нуль и не остается, как кажется, постоянной.

Таким будет случай колебаний маятника в пустоте, который в конце концов останавливается, несмотря на то, что на систему, образованную маятником и Землей, не действуют никакие внешние силы.

Таким образом, имеется кажущаяся потеря энергии. Эта кажущаяся потеря вызывается в машинах трением, вязкостью жидкостей, несовершенной упругостью твердых тел, сопротивлениями, происходящими от электрической индукции и намагничивания. Но эта потеря энергии является чисто кажущейся, так как кроме видимых движений, которыми занимается теоретическая механика, существуют невидимые колебания молекул, изучение которых является предметом физики и которые создают теплоту, свет, электричество и т. д.

Например, любое трение создает тепло и опыты Джоуля показали, что отношение исчезающей энергии к количеству возникающего тепла есть величина постоянная. Эта постоянная называется механическим эквивалентом теплоты и равна приблизительно 424 кгм, т. е. одна калория способна произвести 424 килограммометра работы.

В некоторых случаях сопротивления, недостаточная упругость и т. д. вырабатывают электричество, создают свет и т. д. Тогда закон сохранения энергии нужно понимать следующим образом:

В изолированной системе, которая не подвергается никаким внешним воздействиям, ни механическим, ни тепловым и т. д. полная энергия неизменна при условии, что к кинетической энергии причисляется не только та, которая вызвана видимыми скоростями точек системы, но и та, которая происходит от невидимых или стационарных движений, вызванных теплотой, электрическими токами, а также быть может магнетизмом или статическим электричеством, при условии также, что к потенциальной энергии причисляется не только энергия, происходящая от ощутимых механических действий, которые обычно рассматриваются в механике, но также и та, которая может быть вызвана электрическими напряжениями, химическим сродством и т. д.

Вообще имеется некоторая неопределенность при классификации энергий, имеющих немеханическое происхождение, а также тех, которые имеют происхождение механическое. Так, согласно кинетической теории газов, молекулы газа, даже находящегося в кажущемся покое, обладают весьма быстрыми стационарными движениями, вследствие которых происходят повторяющиеся столкновения молекул между собой и со стенками сосуда. То, что нам представляется как статическое давление, является результатом этих столкновений. Вследствие этого энергия, вызванная давлением газа, не будет по существу потенциальной, а будет кинетической. Точно так же энергию магнита, если допустить теорию Ампера, необходимо рассматривать как кинетическую, а если допустить теорию Максвелла, — то как потенциальную.

Эта неопределенность, относящаяся к качеству различных энергий, не создает затруднений на практике, так как энергия, будь она потенциальной или кинетической, всегда выражается некоторым числом килограммометров, и мы видели, что оба эти вида энергии могут превращаться один в другой без всякой потери (см. Морис Леви, Sur le principe de l’6nergie, GauthierVillars, 1888).

Мы не останавливаемся больше на этих рассуждениях, лежащих, в частности, в основании механической теории теплоты. Мы отсылаем для подробностей к статье Мориса Леви, к статье Гельмгольца (Helmholtz, Ueber die Erhaltung der Kraft, 1847), переизданной в Лейпциге в 1889 году, к сочинению Тэта и Томсона, к Механике Буссинеска (Boussinesq) и др.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)