III. Теорема Пуассона

478. Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях.

Рассмотрим дифференциальные уравнения движения в канонической форме

Интегрируя эти уравнения, найдем в функции времени и произвольных постоянных. Известно, что первым интегралом дифференциальных уравнений движения называется любое соотношение вида

которое справедливо для любой системы функции удовлетворяющих уравнениям (1). Другими словами, левая часть первого интеграла есть функция параметров и времени остающаяся постоянной в течение всего времени движения, каковы бы ни были начальные условия. Очевидно, что если есть интеграл, то интегралом будет также где есть функция от

Два первых интеграла

называются независимыми, если одна из функций, например не является функцией от другой, т. е. если не существует соотношение вида

Вообще первых интегралов

называются независимыми, если ни одна из функций, например не может быть выражена в функции остальных в виде

Очевидно, что если известно первых интегралов, таких как (2), то соотношение

будет также первым интегралом, но он не будет независимым от интегралов (2).

Если известны независимых первых интегралов

то систему (1) можно считать проинтегрированной, так как эти совместных уравнений определяют параметры в функции произвольных постоянных.

Любые интегралы системы уравнений. Говорят, вообще, что соотношение вида

есть интеграл уравнений (1), если оно тождественно удовлетворяется при замене параметров произвольным решением системы (1) и при замене величин подходящим образом подобранными постоянными значениями.

Если интеграл содержит только одну постоянную то его можно разрешить относительно этой постоянной и написать в виде

что и будет первым интегралом.