I. Голономные системы. Уравнения Лагранжа

441. Приведение уравнений движения к наименьшему числу в системах без трения.

Рассмотрим, как и прежде, систему из точек, подчиненную таким связям, что с геометрической точки зрения положение системы в любой момент времени определяется геометрически независимыми между собой параметрами Тогда координаты каждой точки системы можно выразить в функции этих параметров. В общем случае, когда связи содержат время, координаты различных точек, выраженные в функции содержат время

Пусть связи выражаются уравнениями такого вида, как уравнения (6) в Тогда соотношения (1) считаются такими, что если определяемые ими значения координат подставить в уравнения связей, то последние удовлетворяются тождественно при любых значениях переменных

Если величинам сообщить произвольные бесконечно малые приращения то получится наиболее общее возможное перемещение системы, допускаемое связями в момент

и две аналогичные формулы для . Подставляя эти значения в общее уравнение динамики получим уравнение вида

где для краткости положено:

Уравнение (2) должно иметь место, каковы бы ни были поскольку оно справедливо для всех возможных перемещений, допускаемых связями. Оно распадается поэтому на уравнений:

Выражения можно преобразовать так же, как мы это делали для одной материальной точки (п. 282).

Опуская для сокращения письма индекс мы можем написать

Если мы обозначим через х, у, z производные то выражение примет вид

Считая все функциями времени, обозначим через производные от по времени Дифференцируя уравнения (1), получим

Если рассматривать х как функции от и то непосредственно найдем:

Точно так же имеем:

Выражение примет теперь вид

Для преобразования второй скобки заметим, что

так как есть функция переменных Непосредственная проверка показывает, что это выражение тождественно

с производной от х по :

,и аналогично получается

Тогда имеем

Пусть теперь Т — полная кинетическая энергия системы:

Рассматривая Т как функцию переменных мы видим, что суммы, входящие в выражение для равны соответственно Следовательно, имеем

и уравнения движения принимают вид

Эти уравнения и называются уравнениями Лагранжа.

Здесь Т есть функция второй степени относительно Поэтому полученные уравнения являются уравнениями второго порядка. Они определяют в функции времени и произвольных постоянных. Заметим, что в случае, когда связи не зависят от времени, можно сделать так, чтобы выражения (1) для координат не содержали явно времени. Тогда функция Т будет однородной и второй степени относительно

Кроме того, это — величина, существенно положительная по самому своему определению. Следовательно, Т будет тогда определенной положительной квадратичной формой относительно

Чтобы вычислить все надо в общем случае составить выражение суммы возможных работ заданных сил для наиболее общего

перемещения, допускаемого связями в момент Эта сумма, как мы только что видели, равна Если нужно найти какое-нибудь одно то достаточно рассмотреть возможное перемещение, которое получится, если оставить постоянными и все кроме которое нужно изменить на . Тогда сумма работ заданных сил будет равна

Величины принимают замечательный вид, когда заданные силы имеют силовую функцию. Эта функция может быть выражена через и тогда будет

По условию величины равны Имеем, следовательно,

и уравнения Лагранжа принимают вид

Эта же форма сохранится и тогда, когда будут частными производными по функции явно содержащей время. В этом можно убедиться, производя такие же вычисления.

Замечание. Вычисления, которые были сделаны для нахождения выражения при помощи функции Т, не предполагают, что параметры независимы. Эти вычисления не изменятся, если ввести новые связи, выражаемые соотношениями

Действительно, предположение о независимости параметров было сделано лишь для вывода из уравнения (2) формул

Число новых условий должно быть, очевидно, меньше . Тогда вариации параметров будут связаны между собой соотношениями

которые показывают, что независимыми будут вариаций. Чтобы выразить, что уравнение

удовлетворяется при любых произвольных вариациях, можно воспользоваться методом неопределенных множителей, при помощи которого мы получим уравнения движения в виде

или, заменяя Р его значением,

Эти уравнений совместно с уравнениями связей определяют неизвестных в функции времени.