V. Энергия

355. Консервативная система.

Рассмотрим систему, в которой внутренние силы зависят только от положений точек и имеют силовую функцию которую мы будем предполагать однозначной.

Тогда имеем тождественно

Такой случай встретится, например, когда сила взаимодействия между двумя какими-нибудь точками системы зависит только от расстояния между ними (38).

Если такая функция существует, то система называется консервативной.

Такая система характеризуется тем свойством, что когда она переходит из какого-нибудь положения в другое положение то полная работа внутренних сил не зависит от способа перехода системы из первого положения во второе.

В самом деле, если существует, то сумма работ внутренних сил при переходе из одного положения в другое будет:

где — значения функции в соответствующих положениях. Следовательно, работа внутренних сил зависит только от начального и конечного положений

Наоборот, если работа внутренних сил зависит только от начального и конечного положений, то система консервативна и функция существует. В самом деле, возьмем какое-нибудь постоянное положение и пусть произвольное положение. По предположению работа внутренних сил при переходе системы из в зависит только от положений Работа изменяется только в зависимости от выбора конечного положения и является функцией координат точек системы в этом положении:

Если перевести систему из положения в бесконечно близкое положение, соответствующее координатам то работа внутренних сил увеличится на величину

Следовательно, сумма элементарных работ внутренних сил есть полный дифференциал некоторой функции от координат. Система консервативна.