422. Велосипед.

Мы заимствуем из интересного сочинения Бурле следующее приложение теории относительного равновесия. Главной деталью велосипеда, к которой крепятся все остальные, является рама, выполненная обычно в форме жесткого пятиугольника (рис. 251). Позади рамы в точке закреплена ось колеса Впереди рама снабжена втулкой через которую проходит руль. Руль снабжен внизу вилкой через которую проходит ведущее колесо Его ось скреплена с вилкой в точке В. Руль сверху представляет собой почти горизонтальную трубку оканчивающуюся двумя ручками, которые велосипедист держит в руках. Велосипедист сидит в седле закрепленном в верхней части середины рамы. Рама машины представляет собой плоскость симметрии, содержащую втулку

центр седла и центр колеса Эта плоскость называется средней плоскостью. Назовем плоскостью колеса плоскость, перпендикулярную к оси этого колеса в ее середине. Плоскость заднего колеса всегда совпадает со средней плоскостью, а плоскость направляющего колеса меняет свое положение относительно средней плоскости, и когда она с ней совпадает, обе ручки руля находятся на одинаковых расстояниях от средней плоскости, которая является тогда плоскостью симметрии велосипеда, поскольку массами цепи и педалей можно в первом приближении пренебречь.

Рис. 251.

Обозначим через А и В точки касания обоих колес с грунтом. Мы будем предполагать, что ось рулевой трубки проходит через точку касания В направляющего колеса. Тогда точка В будет фиксированной точкой средней плоскости и прямая будет иметь постоянную длину, не зависящую от положения направляющего колеса. Эта прямая касается заднего колеса и является пересечением средней плоскости с грунтом, который предполагается плоским. Мы будем также предполагать, что велосипедист не производит своим телом никаких движений и сидит так, что плоскость симметрии его тела совпадает со средней плоскостью. При таких условиях центр тяжести велосипедиста и велосипеда (рис. 251а) почти точно является некоторой фиксированной точкой средней плоскости.

Рис. 251а.

Следовательно, основание С перпендикуляра, опущенного из центра тяжести на прямую является фиксированной точкой этой прямой.

Найдем сначала, каковы будут следы колес на грунте, если предположить, что направляющее колесо образует со средней плоскостью постоянный угол. Будем считать грунт плосйим и примем его за плоскость чертежа. Пусть А и В — точки касания заднего и направляющего колес, и — прямые пересечения плоскостей обоих колес с грунтом; при этом совпадает по направлению с (рис. 252).

Угол между и постоянный, если постоянным остается наклон средней плоскости к вертикали. Прямые и очень мало отличаются от касательных к следам колес на грунте. Легко тогда видеть, что эти следы будут двумя окружностями, имеющими общий центр в точке пересечения нормалей к обоим следам в точках А и В. В самом деле, обозначим через координаты точки А, через — длину через а — угол касательной АВ к Т с неподвижной осью , следовательно, через

угол между той же осью и касательной к Т. Тогда для координат точки имеем:

Обозначим через дуги обеих кривых и продифференцируем эти равенства, принимая во внимание известные соотношения:

и

Рис. 252.

Получим

Раскрывая суммы двух углов по формулам тригонометрии и разрешая эти уравнения относительно

получим для этих величин значения . Следовательно, радиусы кривизны обоих следов, имеющих значения — и определяются формулами

и являются постоянными.

На рисунке видно, что в треугольнике

Рис. 253.

Следовательно, следы являются окружностями с общим центром и при движении прямая (рис. 253) поворачивается вокруг вертикали с угловой скоростью, которая постоянна, если постоянна скорость велосипеда. Выберем теперь систему трех перпенди кулярных осей, связанных с следующим образом: начало С является проекцией центра тяжести на ось есть прямая ось — вертикаль, проходящая через точку С, ось — перпендикуляр к плоскости Следовательно, плоскость перпендикулярна к средней плоскости, которую она пересекает по прямой образующей с вертикалью угол

Для того чтобы велосипед не опрокидывался и чтобы угол оставался постоянным, необходимо и достаточно, чтобы по отношению к системе

осей Схуг имело место относительное равновесие. Но движение этих осей является вращением с постоянной угловой скоростью вокруг вертикали Будем считать равной нулю массу колес, которая весьма мала по сравнению со всей массой. Пренебрежем также движением ног, которые мы будем полагать неподвижными в некотором среднем положении. Чтпбы выразить, что имеет место относительное равновесие, нужно написать, что существует равновесие между реакциями грунта, силами тяжести и центробежными силами.

Силы тяжести имеют равнодействующую, равную весу (рис. 254).

Рис. 254.

Центробежные силы имеют приближенно равнодействующую приложенную в точке О, направленную по перпендикуляру к оси вращения и равную или где V обозначает скорость точки радиус окружности описываемой этой точкой. Бурле обосновывает это приближение, исходя из замечания, сделанного в ось из соображений симметрии является приближенно главной осью инерции для центра тяжести; угол который образует вертикаль, проходящая через точку с осью обычно мал, и эта вертикаль почти совпадает с главной осью инерции. Следовательно, можно считать, что линия, проведенная из точки параллельно оси вращения оно, является приближенно главной осью инерции для точки что позволяет применить замечание, сделанное в

После этого для исключения реакций грунта напишем, что сумма моментов сил и Р относительно оси равна нулю. Для этого, согласно самому определению моментов, достаточно спроектировать силы Р и на плоскость перпендикулярную к и взять моменты этих проекций относительно точки С. Проекция силы тяжести Р равна величине всей силы; проекцией силы является горизонтальная сила равная где через обозначен угол который образует прямая со своей проекцией на плоскость Тогда условие равновесия будет

Проекция на горизонтальную плоскость треугольника равна такому же треугольнику равно и равно т. е. известной постоянной длине с. Тогда для получаем значение и уравнение равновесия, если в нем заменить и Р их значениями примет вид

В общем случае можно считать настолько большим по сравнению с размерами машины, что величиной можно пренебречь. Тогда

Если допустить, что радиус настолько велик, что указанные приближения допустимы, то полученное таким образом относительное равновесие будет неустойчивым. Действительно, если велосипед наклонится к земле, то угол увеличится, момент веса увеличится, момент силы уменьшится, первый момент будет больше второго и угол будет увеличиваться еще больше. Чтобы не упасть, велосипедист должен будет повернуть направляющее колесо в сторону, в которую он падает, для того, чтобы увеличить угол Тогда точка о переместится, и уменьшатся, центробежная сила увеличится и преодолеет силы тяжести. Если уменьшается, то происходит обратное явление.

Найденное условие относительного равновесия будет достаточным, если трение скольжения по грунту в поперечном направлении неограниченно. Но пусть коэффициент трения имеет определенное значение . В относительном равновесии равнодействующая сил Р и пересекает ось образуя с вертикалью угол Для того чтобы не было скольжения, необходимо, чтобы

Это неравенство показывает, что при заданной скорости нельзя описать окружность радиусом меньшим, чем При скользком грунте, для того, чтобы описать окружность заданного радиуса нужно достаточно замедлить движение, чтобы удовлетворялось предыдущее неравенство (Воuг1еt, loc. cit., стр. 26-27).

Для ознакомления с теорией велосипеда можно рекомендовать также премированную работу Бурле (Bulletin de la Societe mathematique, 1899), работу Карвалло .