345. 1°. Приложение к движению болта в неподвижной гайке без трения.

В этом движении все точки движущегося твердого тела описывают винтовые линии одного и того же шага перемещаясь параллельно оси на отрезок когда болт поворачивается на угол

Так как система имеет полные связи, то теорема кинетической энергии вполне определяет движение.

Примем ось болта за ось Система, образованная болтом, находится под действием заданных сил и реакций гайки, которые везде нормальны к поверхности болта, так как трение отсутствует.

Пусть — цилиндрические координаты произвольной точки системы и — значение ее координаты когда угол равен нулю. Декартовы координаты этой точки в некоторый момент времени будут:

Скорость этой точки имеет, следовательно, проекции

что можно написать, если ввести угловую скорость в виде

Отсюда для квадрата скорости получаем:

Умножая на и складывая такие выражения, составленные для всех точек системы, получим полную кинетическую энергию в виде

или, обозначая через радиус инерции, а через М — массу:

Таким образом, уравнение кинетической энергии имеет вид

где знак относится к заданным силам так как работы сил реакций равны нулю. Подставляя в правую часть найденные выше ражения для приведем ее к виду

Но представляет собой сумму моментов заданных сил относительно оси она равна проекции на эту ось момента результирующей пары, получающейся после приведения заданных сил к началу координат. Что касается то это — проекция главного вектора этих сил на ту же ось и уравнение кинетической энергии может быть написано так:

Выполнив дифференцирование, получим

Если внешние силы удовлетворяют соотношению

то предыдущее уравнение принимает вид

и движение будет равномерным.

В общем случае силы могут быть приведены к динаме, т. е. к одной силе и к одной паре с вектором момента направленным по той же прямой, что и При этом — величина силы, — параметр динамы. Обозначим через кратчайшее расстояние между прямыми а через а — угол между ними. Тогда, выполняя приведение к началу координат, получим:

так как должен быть суммой моментов относительно силы и двух сил, составляющих пару

Движение болта приводится к поступательному перемещению вдоль оси и к вращению вокруг нее и образует то, что по Боллу можно

назвать винтом с амплитудой и и с параметром При этих обозначениях уравнение (1) кинетической энергии принимает вид

Из уравнения видно, что выражение суммы элементарных работ заданных сил симметрично относительно динамы и винта.

2°. Приложение к задаче трех тел. Приложим общие теоремы к следующей задаче: найти движение трех совершенно свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона.

Обозначим через расстояния между заданными точками Силы взаимодействия между этими точками имеют соответственно значения

Так как на систему не действуют никакие внешние силы, то движение ее центра тяжести будет прямолинейным и равномерным, что дает три конечных уравнения движения. По тем же соображениям можно применить теорему площадей относительно трех координатных плоскостей, что дает три первых интеграла. Можно, наконец, получить еще один интеграл при помощи теоремы кинетической энергии.

В самом деле, кинетическая энергия системы равна

С другой стороны, сумма элементарных работ сил взаимодействия, равная, как мы видели,

есть полный дифференциал функции

Имеем, следовательно, интеграл энергии

Брунс доказал (Bruns, Acta mathematica, т. XI), что полученные таким образом интегралы являются единственными. Они будут алгебраическими относительно координат тел и их первых производных. Пуанкаре (там же, т. XIII) показал, что задача трех тел не допускает никаких аналитических и однозначных интегралов, кроме вышеуказанных. Наконец, Пенлеве (Рaifilevё, Coraptes rendus, 17 d6cembre, 1894, премированная работа) доказал, что не существует других интегралов, которые были бы алгебраическими только относительно первых производных.