343. Важный частный случай, когда работа реакций связей равна нулю.

Если связи не зависят от времени, т. е. если они, как в п. 176, выражаются уравнениями, в которых имеются только координаты точек системы, но не время, и если, кроме того, связи идеальные.

т. е. осуществляются без трения, то сумма элементарных работ реакций связей на действительном перемещении, совершаемом системой за промежуток времени равна нулю. В самом деле, при указанных условиях действительное перемещение системы будет, очевидно, допускаться связями и сумма работ реакций связей будет равна нулю (п. 162). Имеем, следовательно, теорему: Если связи не зависят от времени и отсутствует трение, то дифференциал кинетической энергии равен сумме элементарных работ заданных сил.

Может оказаться в рассматриваемом частном случае, что сумма элементарных работ заданных сил на действительном перемещении есть полный дифференциал некоторой функции от координат точек системы. Тогда теорема кинетической энергии приводит к уравнениям:

из которых второе является интегралом энергии.

Примечание I. Для системы с полными связями (п. 168), не зависящими от времени и без трения, теорема кинетической энергии непосредственно дает единственное уравнение движения. В самом деле, положение системы зависит тогда только от одного параметра и по теореме кинетической энергии можно составить уравнение, в которое входят только заданные силы и которое позволяет вычислить единственный параметр в функции времени

Рис. 191.

Примечание II. Если некоторые из связей зависят от времени, то работа соответствующих реакций связей на действительном перемещении будет, вообще говоря, отлична от нуля. Простым примером этого является движение точки, которая скользит без трения по движущейся кривой. Работа реакции связи на действительном перемещении будет отлична от нуля (п. 258).