409. Тяжелое тело, касающееся гладкой горизонтальной плоскости цилиндрической поверхностью.

Пусть тело касается горизонтальной плоскости вдоль всей образующей (рис. 242). Возьмем те же неподвижные оси и те же подвижные оси что и в предыдущем случае.

Рис. 242.

Далее выберем в качестве осей, связанных с телом, проведенную через центр тяжести прямую параллельную образующим цилиндра, и две взаимно-перпендикулярные оси в плоскости прямого сечения. Перпендикуляр опущенный из точки на горизонтальную плоскость, образует с угол, который мы обозначим через . Тогда, если форма прямого сечения дана, то мы по-прежнему будем иметь геометрическое соотношение вида Более того, так как ось будучи параллельна горизонтальной плоскости, находится в плоскости то

угол Эйлера равен нулю. Следовательно, выражения для принимают вид

Горизонтальная проекция центра тяжести по-прежнему совершает прямолинейное и равномерное движение, так как единственные внешние силы — вес и нормальные реакции плоскости, вертикальны. Общий случай может быть приведен к частному, когда точка неподвижна.

Так как в рассматриваемом случае оси не являются главными, то кинетическая энергия тела в его движении вокруг центра тяжести будет

и проекции главного момента количеств относительного движения на оси будут

Следовательно, применяя теорему кинетической энергии к абсолютному движению, согласно теореме Кёнига и значениям получим

С другой стороны, сумма моментов сил относительно оси равна нулю и, следовательно, проекция главного момента количеств относительного движения на постоянна. Отсюда получаем

Так как в рассматриваемом случае то три косинуса имеют значения: и мы имеем

или, наконец,

Эти два уравнения определяют в функции Исключение приводит к уравнению вида

откуда определяем в функции , а затем при помощи квадратуры определяем в функции . После этого получается в функции при помощи другой квадратуры. Угол может принимать лишь такие значения, при которых величина положительна. Мы предоставляем читателю самому произвести более подробный анализ и найти, как и раньше, геометрическое место проекций Р центра тяжести на соприкасающуюся образующую.

Если тело является призмой, положенной на плоскость по ребру то можно принять плоскость за плоскость Тогда где I есть длина отрезка

Примечание. Допустим, что тело предоставлено самому себе без начальной скорости. Исследуем, может ли образующая, по которой происходит касание, перемещаться параллельно самой себе. (Кандидатский экзамен, 1893.) При этом предположении начальные значения равны

нулю и нужно узнать, будет ли оставаться равным нулю в течение всего времени движения. Имеем, следовательно, Так как не равно нулю, то уравнение (12) показывает, что для того, чтобы было все время равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы было Это означает, что плоскость прямого сечения проведенная через должна быть главной плоскостью инерции для точки О.