486. Принцип наименьшего действия.

Этот принцип, менее общий чем принцип Гамильтона, применим к движению системы, связи которой не зависят от времени и на которую действуют силы, имеющие силовую функцию Принцип наименьшего действия выражает геометрическое свойство системы, не зависящее от понятия времени.

Пусть Т — кинетическая энергия системы. Применяя к движению теорему кинетической энергии и принимая во внимание, что связи не зависят от времени и что не содержит получим

Положение системы, которую мы считаем голономной, зависит от независимых геометрических параметров таким образом, что координаты произвольной точки системы выражаются в функции параметров, не содержащих

Чтобы получить бесконечно малое перемещение системы, достаточно изменить эти параметры на тогда получат приращения Положим

где сумма распространена на все точки системы. Заменяя в ней их выражениями в функции мы получим для квадратичную форму относительно этих дифференциалов

в которой коэффициенты суть функции параметров Кинетическая энергия будет тогда равна, и интеграл энергии напишется так:

Мы будем в дальнейшем предполагать, что постоянная энергии имеет определенное значение.

Рассмотрим теперь два положения системы, соответствующих значениям параметров.

С точки зрения чисто геометрической можно перевести систему из одного положения в другое бесчисленным множеством способов. Чтобы получить один из этих способов, достаточно выразить в виде непрерывных функций некоторого параметра X:

причем так, чтобы при координаты приняли значения соответствующие положению и чтобы при они приняли значения соответствующие положению Тогда при непрерывном изменении X от до система будет непрерывным образом переходить из первого положения во второе. Каждому выбору функций соответствует свой способ перехода системы из положения в положение

Пользуясь понятиями геометрии, можно сказать, что мы будем рассматривать как координаты точки в пространстве к измерений. Тогда положениям соответствуют две точки этого пространства с координатами Последовательности точек, определяемых соотношениями (2), когда X изменяется от до соответствует кривая С, соединяющая обе точки Тогда действием вдоль кривой С от до называют интеграл

взятый вдоль этой кривой. Обозначим через первые производные от по X, так что здесь точки над указывают, что дифференцирование производится по X. Тогда вдоль кривой С, поскольку для нее будут функциями от X, имеем.

так как Обозначим через 0 квадратичную форму

Тогда

Для каждой кривой, соединяющей обе точки т. е. при определенном выборе функций это действие имеет определенное значение. Принцип наименьшего действия состоит в том, что если мы будем искать кривую С, с помощью которой нужно соединить обе точки, чтобы интеграл А был минимумом, то мы найдем, что эта кривая должна быть одной из траекторий, по которой будет действительно двигаться система, если сообщить ей движение из таким образом, чтобы она достигла и чтобы при этом постоянная энергии оставалась равной . В этой формулировке мы назовем траекторией (в пространстве измерений) кривую, определяемую последовательностью значений соответствующих действительному движению системы под действием заданных сил с силовой функцией

Для нахождения выражений в функции X, обращающих интеграл А в минимум, необходимо написать, что вариация интеграла равна нулю, когда получают бесконечно малые вариации которые являются произвольными функциями X, обращающимися в нуль на пределах Это последнее условие вытекает из того, что значения при задаются наперед. Когда изменяется на его производная по X изменяется на Следовательно, имеем

Мы выписываем только члены, содержащие вариации параметра Остальные члены получатся последовательной заменой индекса 1 индексами

Выполним преобразование, проинтегрировав по частям члены с Имеем

Следовательно, часть интеграла, содержащая , напишется так:

Проинтегрированная часть обращается после подстановки прзделов в нуль, так как при этих пределах равна нулю вариация . Таким же

образом преобразуем и остальные члены. Мы получим

где мы выписываем лишь те члены, которые имеют множителем . Чтобы интеграл А был минимумом, необходимо, чтобы равнялось нулю, каковы бы ни были бесконечно малые функции . Следовательно, необходимо, чтобы по отдельности обращались в нуль коэффициенты при этих вариациях под знаком интеграла. Таким образом, мы получаем для определения кривой, обращающей в минимум интеграл, уравнений, из которых мы выпишем только первое:

Эти дифференциальные уравнения второго порядка определяют в функции X. Для определения постоянных интегрирования нужно написать, что при параметры принимают заданные значения и что при эти параметры принимают заданные значения Но теперь легко видеть, что уравнения (3) определяют именно траектории системы в ее действительном движении. В самом деле, мы сейчас покажем, что заменой независимого переменного они приводятся к уравнениям движения в форме Лагранжа. Заменим X другой переменной определяемой соотношением

и обозначим через производные от взятые по . Положим, кроме того, что

и вспомним, что

Очевидно, имеем

в чем можно убедиться, вычисляя эти выражения и замечая, что Если в уравнения (3) подставить выражения (5) и заменить его

значением которое получается из равенства то эти уравнения обратятся в следующие:

Полученные уравнения являются как раз уравнениями Лагранжа. Уравнение же (4) показывает, что есть постоянная энергии, так как в силу того, что 0 равно имеем и из уравнения (4) получаем

что лействительно является интегралом энергии.

Следовательно, теорема доказана: кривая, обращающая в минимум действие в промежутке от до есть одна из действительных траекторий, соединяющих обе эти точки, и при движении вдоль этой траектории постоянная энергии остается равной Таким образом, действительные траектории получаются из условия