IV. Общее уравнение теории удара. Теорема Карно

616. Общее уравнение.

В теории удара можно ввести принцип, аналогичный принципу Даламбера, который, впрочем, является непосредственным следствием последнего.

Рассмотрим материальную точку массы с координатами Обозначим через х, у, z производные от х, у, z по времени, т. е. проекции скорости точки. Удар продолжается бесконечно малый промежуток времени Пусть скорости точки в моменты и — геометрическая разность векторов и

Этот вектор называется потерянной скоростью точки. Если обозначить через проекции скоростей то проекции скорости будут

Вектор представляет собой потерянное количество движения. Его проекции равны

или

если, как и выше, обозначает изменение

Этот вектор будет играть здесь ту же роль, что сила инерции в принципе Даламбера.

В самом деле, уравнения, выражающие для точки теорему проекций количеств движения, могут быть написаны так:

Их можно интерпретировать, говоря, что существует равновесие между потерянным количеством движения и приложенными к точке ударами. Если, следовательно, сообщить точке произвольное возможное перемещение , то сумма работ потерянного количества движения и ударов равна нулю:

Вообразим теперь систему со связями без трения и допустим, что в течение бесконечно малого промежутка времени она испытывает заданные удары с проекциями

Можно рассматривать каждую точку системы как свободную при условии, что к ней прикладываются удары, вызванные связями, которые имеют место в промежутке иначе говоря, прикладываются удары связей.

Если, следовательно, сообщить различным точкам системы произвольные возможные перемещения, то сумма работ потерянных количеств движения, заданных ударов и ударов связей будет равна нулю. Но если сообщенные возможные перемещения допускаются связями, имеющими место в промежутке времени то сумма работ ударов связей будет сама по себе равна нулю. Следовательно, сумма работ потерянных количеств движения и заданных ударов будет также равна нулю. Обозначим через произвольное перемещение точки допускаемое связями, имеющими место в промежутке времени Тогда только что высказанное свойство выразится уравнением

в которое входят только заданные удары , причем сумма распространена на все точки системы. Это и будет уравнением теории

ударов без трения, играющим такую же роль, как и общее уравнение динамики Это уравнение распадается на несколько разных уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы, допускаемых связями, имеющими место в промежутке времени

Замечание об ударах связей. Мы допустили, что если связи без трения, то сумма работ ударов связей на допускаемых ими возможных перемещениях равна нулю. Легко проверить это свойство так же, как мы это делали в для реакций связей. Оно вытекает из того, что удары связей происходят от реакций связей, действующих в промежутке времени Например, если два тела, и находятся в соприкосновении без трения, то реакции связей нормальны к общей касательной плоскости, равны по величине и противоположны по направлению. Отсюда следует, что и удары, вызванные этими силами, также нормальны к общей касательной плоскости, равны по величине и противоположны по направлению. В самом деле, обозначим через направляющие косинусы общей нормали к обоим телам в точке касания и через — реакцию тела на тело Проекции реакции будут . В течение времени реакция становится очень большой и порождает удар, проекции которого равны

Но так как во время удара тела заметно не перемещаются, то можно рассматривать как не зависящие от и написать эти проекции таким образом:

Удар связи на тело есть вектор Р, нормальный к общей касательной плоскости, величина которого равна Точно так же удар связи на есть вектор Р, равный и противоположный вектору Р, так как его проекции получаются из предыдущих, если переменить в них знаки. Тогда на перемещении, допускаемом связью, сумма работ ударов связи Р и Р равна нулю. Аналогичным образом производится проверка и для других типов связей.