ГЛАВА XXII. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

I. Общие теоремы

413. Уравнения относительного движения точки.

Уравнения Лагранжа позволяют, как мы видели, найти относительное движение точки по отношению к системе, совершающей известное нам движение (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что те же уравнения применимы и к относительному движению голономных систем. Следовательно, нет необходимости в построении специальной теории относительного движения. Тем не менее ввиду важности вопроса мы изучим его непосредственно.

Задача заключается в следующем: пусть даны неизменяемая система совершающая известное движение, и материальная точка находящаяся под действием некоторых сил. Нужно найти относительное движение этой точки по отношению к системе которая называется подвижной системой отсчета. Для определения движения системы отсчета достаточно, как мы видели в кинематике (п. 45), определить движение трех осей неизменно связанных с этой системой. Точка обладает в каждый момент времени абсолютной скоростью относительной скоростью по отношению к системе отсчета и переносной скоростью Между этими тремя скоростями имеет место векторное соотношение

Для ускорения мы имеем аналогичную формулу с добавочным членом.

Пусть - абсолютное ускорение, относительное ускорение, — переносное ускорение и — некоторый вектор, называемый добавочным ускорением. Имеем векторное равенство

Напомнив эти результаты, обратимся к интересующей нас задаче. Равнодействующая сил, действующих на точку равна абсолютному ускорению умноженному на массу точки . Следовательно,

на основании равенства (1) имеем новое векторное равенство:

откуда

Это векторное равенство переходит в три алгебраических уравнения, получающихся при проектировании рассматриваемых векторов на подвижные оси. Таким путем получаются так называемые уравнения относительного движения. Проекции на подвижные оси равны Мы обозначим через проекции силы через — проекции переносного ускорения и через — проекции добавочного ускорения. Тогда имеем три уравнения:

Проекции ускорений и известны, так как известно движение системы отсчета или, что то же, переносное движение.

Интегрированием дифференциальных уравнений (4) мы получим х, у, z в функции т. е. уравнения относительного движения в конечной форме.

Векторам проекции которых содержатся в уравнениях (4), дают следующие специальные наименования: вектор — равный и противоположный произведению массы на переносное ускорение, называют переносной силой инерции, а в случае, когда движение системы является равномерным вращением вокруг неподвижной оси — центробежной силой, вектор равный и противоположный произведению массы на добавочное ускорение, называют кориолисовой силой инерции.

Мы приходим к следующему выводу: Относительное движение точки по отношению к движущимся реям будет таким же, как если бы эти оси были неподвижны, а к силам, которые действуют на движущуюся точку, была присоединены две фиктивные силы, из которых одна является переносной силой инерции, а другая — кориолисовой силой инерции.

Геометрическое определение кориолисовой силы инерции непосредственно вытекает из определения вектора Проекции силы на основании данных в

значений проекций суть

где — проекции на оси мгновенной угловой скорости подвижной системы отсчета.