IV. Колебания около устойчивого движения

452. Общий метод.

Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами.

Пусть дана система, в которой связи могут зависеть от времени и положение которой определяется геометрически независимыми параметрами. Уравнения движения будут

Допустим, что найдено частное решение

этих уравнений, в которых постоянные интегрирования имеют определенные значения. Тогда мы имеем частное движение, которое

будет совершать система, когда в момент параметры принимают значения а производные значения в этом случае говорят, что движение устойчиво, если система при произвольных начальных условиях, бесконечно близких к предыдущим, будет совершать движение, бесконечно близкое к рассматриваемому частному движению. Можно узнать, будет ли рассматриваемое движение устойчиво, и одновременно найти бесконечно близкие движения, применяя следующий метод. Заменим параметры новыми параметрами определяемыми из соотношений

Уравнения движения Лагранжа примут вид

где — функции от и от

В этих новых параметрах частное движение, устойчивость которого мы желаем изучить, определяется равенствами

Оно получится, если предположить, что в момент параметры и их производные имеют значения, равные нулю. Придадим в начальный момент этим параметрам и их производным произвольные бесконечно малые значения. Требуется узнать, будет ли получающееся при этом движение бесконечно близким к предыдущему, т. е. таким, при котором величины остаются бесконечно малыми.

Предположив, что это будет так, и допустив, что разлагаются в ряд по возрастающим положительным степеням мы, сохранив в обеих частях уравнений только члены первого порядка относительно этих величин и величин найдем искомые уравнения. Так как полученные таким образом уравнения должны, по предположению, удовлетворяться при

то они будут линейными и однородными относительно неизвестных и их первых и вторых производных.

453. Пример.

Рассмотрим точку массы 1, притягиваемую неподвижным центром О пропорционально степени расстояния:

Если обозначить через полярные координаты и применить уравнения Лагранжа, то уравнения движения будут

Они допускают частное решение

Как видно, траектория этого движения является окружностью с центром в точке О, описываемой с постоянной угловой скоростью. Выясним, будет ли это частное движение устойчивым. Положим с этой целью

и посмотрим, будут ли оставаться очень малыми, если они и их производные и были очень малыми в начальный момент. При таком предположении будем рассматривать и их производные как малые величины первого порядка и будем пренебрегать их квадратами и произведениями. Подставляя значения (4) в уравнения движения (2) и обозначая через о постоянную величину получим

Правая часть первого уравнения является членом с первой степенью в разложении функции Интегрируя второе из этих уравнений, получим

где а — произвольная постоянная, которая очень мала, так как очень малы при Исключая из уравнений (5) и получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

Если отрицательно или равно нулю, то общий интеграл этого уравнения будет содержать члены с показательными или алгебраическими функциями, неограниченно возрастающими вместе с и рассматриваемое круговое движение не будет устойчивым. Допустим, следовательно, что положительно. Тогда

где — произвольные постоянные, из которых первая очень мала. Следовательно, остается очень малым, и поэтому остается близким к Рассмотрим теперь уравнение (6). Заменяя в нем только что найденным значением и интегрируя, получим

где с — очень малая постоянная. Мы видим, что содержит член с Следовательно, неограниченно возрастает вместе с и круговое движение не будет устойчивым. Исключение представится лишь в том случае, когда так как тогда член с исчезает. Если отлично от 1, то для того, чтобы оставалось очень малым, необходимо будет подобрать начальные условия таким образом, чтобы а равнялось нулю. Это условие означает, что в

возмущенном движении постоянная площадей должна иметь такое же значение как и в круговом движении. В самом деле, если для возмущенного движения мы напишем интеграл площадей

то, пренебрегая в нем величинами получим уравнение

совпадающее с уравнением (6). Следовательно, для того чтобы а было равно нулю, необходимо, чтобы Резюмируя, мы можем сказать, что за исключением случая, когда круговое движение не будет устойчивым. Но оно становится устойчивым при положительном, если очень мало изменять начальные условия таким образом, чтобы не изменялась постоянная площадей.

Ралки этой книги не позволяют нам останавливаться далее на вопросе об устойчивости движения. За более глубоким исследованием мы отсылаем к Механике Рауса (advanced Part, гл. III).