443. Уравнения Эйлера.

Уравнения Лагранжа позволяют легко получить уравнения Эйлера для движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Используя прежние обозначения (п. 383), мы видим, что положение тела зависит от трех независимых параметров , а его кинетическая энергия выражается в виде

где выражаются через функции следующим образом:

Что касается суммы работ заданных сил

то она принимает вид

Напишем уравнение Лагранжа по переменной

Но

и согласно выражениям имеем

Следовательно,

и уравнение принимает вид

Остается показать, что Ф есть сумма моментов заданных сил относительно оси . В самом деле, Фоср есть сумма возможных работ заданных сил на элементарном перемещении, получающемся при постоянных значениях , т. е. при повороте на угол вокруг оси Но мы видели (п. 181), что если тело поворачивается на угол вокруг оси то для суммы работ заданных сил имеем:

откуда

Мы имеем таким образом одно из уравнений Эйлера:

Но в рассматриваемом вопросе играют совершенно одинаковую роль и только что написанное уравнение не содержит явно углов Отсюда на основании симметрии следует, что мы можем написать два других уравнения:

Эти уравнения можно было бы вывести и из уравнений Лагранжа по переменным Но вычисления будут более сложными, чем для переменной и недужными.