434. Голономные системы; координаты голономной системы.

Согласно определению, данному немецким физиком Герцем (п. 172), система называется голономной, когда наложенные на нее связи могут быть выражены соотношениями в конечной форме между координатами точек системы и временем. Пусть — координаты точек системы. Чтобы система была голономной, необходимо и достаточно, чтобы все связи могли быть выражены системой независимых уравнений вида

Эти уравнения называются уравнениями связей голономнои системы. Если ни одно из этих уравнений не содержит времени то связи называются не зависящими от времени. Если некоторые уравнения связей содержат то связи зависят от времени.

Мы получим пример связей, зависящих от времени, если представить себе, что некоторые из точек системы скользят по кривым или поверхностям, совершающим наперед заданные движения, т. е. по кривым или поверхностям, уравнения которых содержат время.

Число уравнений связей должно быть обязательно меньше числа координат. В самом деле, если будет равно то движение системы будет предопределено уравнениями связей, так как эти уравнения определят координат в функции времени. Можно, следовательно, положить

где — целое положительное число. Мы сейчас увидим, что система обладает в этом случае степенями свободы.

Координаты системы. В каждый момент времени для того чтобы знать положение системы, достаточно знать численные значения координат, выбранных подходящим образом из всех координат системы. В самом деле, значения остальных координат можно тогда определить из уравнений связей (6).

Вообще, чтобы знать положение системы в какой-нибудь момент достаточно знать численные значения параметров связанных с координатами системы заданными соотношениями:

В самом деле, если дано и если величинам дать некоторые численные значения, то уравнения (6) и (7) образуют систему уравнений, определяющих координат:

Если решить эту систему, то для координат получатся выражения вида

где Из этих формул ясно видно, что в каждый момент времени численные значения параметров определяют положение системы. Параметры могут быть названы координатами голономной системы.

Примеры. Положение твердого тела, имеющего неподвижную точку, определено, если известны численные значения трех углов Эйлера Эти углы представляют собой координаты тела

Положение волчка на неподвижной горизонтальной плоскости определено, если известны горизонтальные координаты центра тяжести и три угла Эйлера определяющие положение волчка относительно центра тяжести. Пять величин являются координатами волчка

Степени свободы системы. Чтобы получитьнаиболее общее, совместимое со связями в момент времени перемещение системы, достаточно задать соответствующее численное значение и заменить координаты бесконечно малыми произвольными величинами Тогда из формул (8) можно найти соответствующие вариации координат, т. е. допускаемые связями возможные перемещения:

где Так как произвольны, то система обладает степенями свободы Формулы (9) являются частным случаем формул (2), определяющих наиболее общее допускаемое связями возможное перемещение. Они твляются частными, так как в рассматриваемом случае правые части выражений , суть полные дифференциалы функций от что в общем случае не имеет места.

Подставляя выражения в общее уравнение динамики (1) и приравнивая нулю коэффициенты при мы получим, как это уже было показано в уравнений движения системы.

В следующей главе мы покажем, как эти уравнения можно привести к виду, более удобному для приложений.