503. Интегральные инварианты.

Вернемся снова к системе дифференциальных уравнений Условимся рассматривать как координаты точки в пространстве измерений и как меру времени. Уравнения (33) определяют семейство кривых Какая-нибудь кривая и движение по ней определены, если задано положение движущейся точки в момент Обозначим через это начальное положение и через —положение, которое займет движущаяся точка в момент

Вообразим, что мы заставляем точку описывать некоторое -мерное подпространство тогда точка Р также опишет некоторое -мерное подпространство Например, если точка описывает дугу кривой то точка Р опишет другую дугу

Остановимся сначала на этом случае; условимся обозначать символом вариации, соответствующие перемещению Р по дуге или, что приводится к тому же, перемещению по дуге

Рассмотрим линейное выражение вида

где суть функции от и от и возьмем интеграл

вдоль дуги Переменные будут функциями и начальных координат точки Если эта точка перемещается по дуге то будут функциями некоторого параметра X, который принимает значения на концах дуги. Следовательно, величины в интеграле I будут также функциями X и на дуге причем при интегрировании рассматривается как постоянная.

Будем теперь изменять Тогда пределами интеграла останутся но так как подынтегральное выражение зависит от то вообще говоря, будет функцией от Может случится, что эта функция от приведется к постоянной, какова бы ни была дуга Тогда говорят, что является интегральным инвариантом.

Для того чтобы было интегральным инвариантом, необходимо, чтобы равнялось нулю, какова бы ни была дуга интегрирования. Так как пределы интегрирования не зависят от времени, то отсюда следует, что производная подынтегрального выражения должна быть равна нулю:

Другими словами, для того чтобы было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы выражение

было интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений.

Если вместо элемента, линейного относительно 8, взять элемент, являющийся корнем степени от однородной формы относительно 8 порядка то можно таким же путем рассмотреть криволинейный интеграл

и условие, нужное для того, чтобы I было интегральным инвариантом, приведется к тому, что должно быть интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений

Следовательно, вопрос об интегральных инвариантах, представляемых простыми интегралами, приводится к вопросу об интегралах от двух бесконечно близких решений.

Но можно также представить себе интегральные инварианты, выражающиеся кратными интегралами.

Допустим, например, что точка описывает ограниченное подпространство двух измерений тогда точка Р опишет другое подпространство

Обозначим по-прежнему через 8 перемещения, осуществляемые в этом пространстве, и рассмотрим двойной интеграл

распространенный на Е, где М — функции от и от Когда точка описывает пространство координаты будут функциями двух параметров X и и величины будут функциями и этих

двух параметров. Интеграл если в него ввести переменные примет вид

и пределы интегрирования не будут зависеть от времени.

Однако, так как все все зависят от то интеграл будет также от него зависеть. Для того чтобы он не зависел от необходимо, чтобы

Если это имеет место, что мы и предполагаем, каковы бы ни были форма и протяженность подпространства , а следовательно, и подпространства то совершенно очевидно, что данное уравнение должно иметь место, как бы ни были выбраны функции а следовательно, и функции от Но когда X изменяется на тогда изменяется на и совершенно ясно, что все удовлетворяют уравнениям, полученным от вариирования уравнений (33). То же будет справедливо и для вариаций соответствующих изменению только переменного На основании этого, уравнение напишется так:

Оно выражает, что функция

является интегралом, зависящим от трех бесконечно близких решений

Так, например, мы видели, что в случае канонических уравнений сумма,

есть интеграл, если суть две системы решений уравнений в вариациях. Это равносильно тому, что двойной интеграл

является интегральным инвариантом.

Точно так же можно рассматривать -кратные интегралы, представляющие собой интегральные инварианты, т. е. такие, для которых производная, по времени равна нулю, каково бы ни было подпространство по которому происходит интегрирование.

Пусть

— k-кратный интеграл, в котором суть функции от х и от Условие эквивалентно следующему:

Оно выражает, что сумма в которой — символы различных дифференциалов, является интегралом, зависящим от бесконечно близких решений.

Возьмем, например, -кратный интеграл

Утверждение, что интеграл является инвариантом, равносильно утверждению, что произведение

в котором обозначают систем различных дифференциалов, является интегралом, зависящим от бесконечно близких решений. Выясним, какой должна быть функция М, чтобы это имело место. Мы должны иметь или

Дифференцирование определителя приводит к следующему результату:

где точки означают определителей, подобных написанному первому определителю.

Но удовлетворяют уравнениям в вариациях, так что

Подставляя эти значения в написанный выше определитель, мы видим, что он равен произведению

Точно так же остальные определители равны откуда вытекает, что

и поэтому

С другой стороны, мы знаем, что

Следовательно, окончательно находим

т. е.

Отсюда видно, что должен быть множителем Якоби.

Из предыдущего результата легко вывести свойство инвариантности множителя, установленное вначале, так как, если произвести преобразование переменных то определитель умножится на определитель преобразования . И если М будет множителем с прежними переменными, то будет множителем с новыми переменными.

Мы опять приходим к множителю Якоби, что очень интересно, так как этот результат выясняет важное значение новых понятий, введенных Пуанкаре, поскольку множитель появляется как частный случай значительно более общих понятий. Добавим, что этот выдающийся ученый извлек большую пользу из интегральных инвариантов в своих исследованиях по механике, в особенности в вопросах, касающихся устойчивости. Но мы отсылаем по этому вопросу к книге Пуанкаре «О новых методах небесной механики», т. III (Sur les methodes nouvelles de la Mecanique celeste).

В заметке, помещенной в январе 1896 г. в Comptes rendus, Кёниге исследовал также интегральные инварианты, представляемые -кратными интегралами вида

в предположении, что коэффициенты X дифференциальных уравнений, так же как и функции М, не зависят от Если положить

Я если а обозначает интеграл, не обращающий в нуль то будет множителем. Тогда знание двух интегралов позволит образовать третий так же, как это позволяет делать теорема Пуассона в случае канонических уравнений.

Относительно приложений теории интегральных инвариантов можно сослаться также на работы де Дондера .