497. Пример.

На практике, чтобы извлечь выгоду из известных интегралов, является естественным исключение некоторых переменных при помощи этих интегралов.

Так как важно прийти к определенному результату, то мы представим это исключение в следующей форме.

Пусть представляют собой переменных, которые мы желаем исключить, используя известных интегралов Это исключение сводится к такой замене переменных:

Мы допускаем, правда, что последние уравнений разрешимы относительно переменных т. е. что функциональный определитель, составленный из функций относительно этих переменных, не равен нулю. Но такое предположение допустимо, так как если бы все определители с столбцами, взятыми из таблицы

были равны нулю, то интегралы были бы связаны одним соотношением и не были бы независимыми. Следовательно, из этих определителей по крайней мере один не равен нулю, и мы можем положить, что нулю не равен определитель

Заметим также по этому поводу, что функциональный определитель

является обратным к определителю который вследствие частной формы уравнений (14) приводится как раз к определителю

Если это так, то с новыми переменными дифференциальные уравнения принимают вид

Заметим, что являются первоначальными переменными Следовательно, есть или, что то же, но такое в котором с помощью равенств (14) переменные заменены их значениями в функции от и новых переменных рассматриваемых как постоянные. Условимся функцию Х, в которой произведена указанная подстановка, обозначать через Такой же смысл имеют обозначения Мы получим таким образом укороченную систему

и согласно общей теореме, если М есть множитель для первоначальной системы дифференциальных уравнений, то дробь

будет множителем для укороченной системы (15).

Допустим, например, что известен только один интеграл и что мы желаем использовать его для освобождения от одной переменной и для укорочения системы дифференциальных уравнений. Если есть этот интеграл и если М есть множитель первоначальной системы, то будет множителем для системы, которая получится после исключения переменной при помощи интеграла.

Якоби дает следующий пример.

Дано дифференциальное уравнение

Если ввести в качестве переменной величину то это уравнение будет эквивалентно следующей системе:

Выражение, которое мы обозначали выше через , приводятся здесь к нулю. Следовательно, на основании сделанного замечания есть множитель.

Допустим теперь, что известен первый интеграл системы (17):

Из этого уравнения можно выразить у в функции :

Тогда мы получим более короткую систему

для которой является множителем, так что окончательно выражение

является точным дифференциалом, если заменить в нем у его значением полученным из уравнения (18).