512. Случай, когда действует один удар. Центр удара.

Допустим, что имеется только один заданный удар приложенный в точке и выясним, нельзя ли приложить его таким образом, чтобы опоры не испытывали никакого удара, т. е. чтобы были равны нулю.

Внося эти условия в последнее из написанных выше уравнений, получим:

т. е. заданный удар должен быть перпендикулярен к оси вращения. Допустим, что в качестве плоскости хупринятаплоскость перпендикулярная к оси и содержащая этот удар, а в этой плоскости выбрана ось х, перпендикулярная к удару. Тогда получим (рис. 271):

так что остальные четыре уравнения в этих новых осях примут вид

где обозначает новое значение координаты и величина определяется из уравнения (1):

Рис. 271.

Первые два уравнения предыдущей группы выражают, что является главной осью инерции для точки Третье уравнение показывает, что центр тяжести должен лежать в плоскости Что же касается четвертого уравнения, то, заменяя в нем его значением а сумму ее выражением через абсциссу центра тяжести, получим:

Итак, пусть тело вращается вокруг неподвижной оси. Для того чтобы к нему можно было приложить удар, но так, чтобы ось вращения этого удара не испытывала, необходимо прежде всего, чтобы эта ось была главной осью инерции для одной из своих точек Если это условие выполнено, то удар произвольной силы должен лежать в плоскости, проведенной через точку перпендикулярно к оси вращения; он должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через центр тяжести и ось; наконец, он должен пересекать эту плоскость в точке, лежащей относительно оси с той же стороны, что и центр тяжести на расстоянии от оси, равном у. Можно также

сказать, что если ось принята за ось подвеса твердого тела, то удар должен быть перпендикулярен к плоскости и приложен к проекции на ось качания точки для которой ось является главной, причем ось качания соответствует оси подвеса

Найденная таким образом точка А, называется центром удара для оси

Случай пластинки. Рассмотрим случай тела весьма малой толщины, т. е. случай бесконечно тонкой пластинки, вращающейся вокруг некоторой оси лежащей в плоскости пластинки. Какова бы ни была эта ось, всегда можно определить удар, перпендикулярный к плоскости пластинки, таким образом, чтобы ось вращения не испытывала удара. Это вытекает из того, что ось всегда является главной осью для одной из своих точек. В самом деле, приняв плоскость пластинки за плоскость перенесем оси в некоторую точку оси и обозначим новые оси через Для того, чтобы ось была главной осью для точки необходимо, чтобы (рис. 271)

Первое из этих условий всегда выполняется, так как для всех точек тела Что касается второго условия, то на основании очевидной формулы преобразования

оно может быть написано в виде

откуда

Следовательно, на оси всегда существует одна и только одна точка, для которой эта прямая является главной осью инерции.

Установив это, переходим к нашей задаче. Для того чтобы удар приложенный к пластинке, не отзывался на оси, необходимо, чтобы этот удар был перпендикулярен к плоскости пластинки и пересекал ось в точке А, на расстоянии

т. е. на расстоянии

от оси. Точка А, есть центр удара пластинки относительно оси

На основании предыдущего каждой прямой на плоскости соответствует центр удара. Если положить то координаты точки будут

т. е. центр удара пластинки относительно оси лежащей в ее плоскости, совпадает с положением, которое занимал бы центр тяжести, если бы масса каждой частицы была умножена на расстояние х от нее до оси. Например, для прямоугольной однородной двери ширины центр удара находится на середине высоты на расстоянии от оси.