II. Первое приложение уравнений Эйлера к случаю, когда внешние силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку

387. Первые интегралы.

Наиболее простым случаем, который может представиться, будет тот, когда все внешние силы приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную точку, например, когда тяжелое тело закреплено в своем центре тяжести. В этом случае тело, предоставленное самому себе без всякой начальной скорости, будет в равновесии при всех положениях, которые оно может занимать вокруг точки О.

Главный момент внешних сил относительно точки О будет тогда равен нулю. Величины L, М, N (п. 383) равны нулю, и если в качестве осей, связанных с телом, принять его главные оси инерции в точке О, то уравнения Эйлера (п. 384) примут вид

Так как эти уравнения содержат только и не содержат то интегрирование уравнений движения разделяется на две части: сначала нужно проинтегрировать уравнения (11) Эйлера, определив в функции а затем уже нужно вычислить в функции

Система (11) допускает два первых интеграла, которые легко составить. Умножая первое из этих уравнений на второе на

третье на и складывая, получим соотношение

или, интегрируя и обозначая через произвольную постоянную,

Умножим те же уравнения на складывая их, получим:

или, интегрируя и обозначая через Р произвольную постоянную,

Эти два интеграла имеют простой смысл и непосредственно вытекают из общих теорем. Действительно, кинетическая энергия тела равна . Следовательно, равенство (12) выражает, что кинетическая энергия системы остается постоянной. Это и очевидно, так как заданные силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку, и, следовательно, ее работа равна нулю.

Для интерпретации уравнения (13) вспомним, что проекции главного момента количеств движения на подвижные оси равны Уравнение (13) выражает, следовательно, что его величина остается постоянной, что вытекает также из общих теорем, ибо в рассматриваемом случае равны нулю, равен нулю, точка , имея скорость, равную нулю, будет неподвижной и величина будет оставаться постоянной, равной I. Теорема площадей применима к проекции движения на произвольную плоскость, проходящую через О. Плоскость, перпендикулярная к является плоскостью максимума площадей.

Умножая равенства (12) и (13) соответственно на и и вычитая одно из другого, получим

Так как уравнениями мгновенной оси вращения относительно движущихся осей будут то отсюда видно, что эта ось описывает в теле конус второго порядка

Он будет исследован позже.

Из предыдущих уравнений непосредственно вытекает, что проекция мгновенной угловой скорости вращения на неподвижное направление главного момента количеств движения постоянна

(Пуансо). В самом деле, косинус угла между мгновенной угловой скоростью и и вектором равен

откуда

является постоянной величиной.

Чтобы сделать все размерности очевидными, мы положим, как это делает Гринхилл (Fonctions elliptiques, стр. 147),

откуда

Произвольная постоянная являющаяся проекцией вектора на будет тогда иметь размерность угловой скорости, а произвольная постоянная будет величиной той же размерности, что и А, В, С.