410. Движение с трением однородного тяжелого шара по горизонтальной плоскости (бильярдный шар).

Возьмем в горизонтальной плоскости, по которой движется шар, две неподвижные оси (рис. 243); в качестве оси С примем направленную вверх вертикаль. На шар действуют две силы: его вес приложенный в его центре и реакция плоскости, приложенная в точке касания А. Эта реакция имеет вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую Проекции последней составляющей на оси суть X и

Рис. 243.

Таким образом, уравнения движения центра тяжести получатся следующие:

Так как С остается постоянной, то из последнего уравнения имеем:

Следовательно, нормальная составляющая реакции всегда равна весу шара. Тогда законы трения скольжения показывают, что касательная составляющая равна постоянной величине

Для наблюдателя, совершающего переносное движение вместе с центром тяжести, кажется, что шар вращается вокруг этой точки. Пусть — мгновенная угловая скорость в момент Мы обозначим через ее составляющие по трем осям параллельным неподвижным осям и проведенным через центр шара. Применим к этому относительному движению теорему моментов количеств движения относительно осей Так как относительная скорость какой-нибудь точки имеет проекции

то момент количества движения этой точки относительно оси будет:

Составим сумму всех аналогичных величин для различных точек шара. Получим

так как суммы равны нулю, а сумма есть момент инерции шара относительно диаметра. Все силы, приложенные

к шару, пересекают ось Поэтому имеем уравнение

которое показывает, что вертикальная составляющая вращения остается постоянной.

Аналогичными вычислениями получим для осей уравнения

в которых правые части суть моменты силы относительно осей

Применим теперь второй закон трения, согласно которому направление силы F противоположно направлению скорости точки на поверхности шара, занимающей положение А. Абсолютная скорость этой точки есть результирующая переносной скорости и относительной скорости

Если мы обозначим через и и проекции искомой скорости на , то сможем написать:

Нам нужно выразить, что X и Y пропорциональны и и

Мы сейчас покажем, что скорость точки, находящейся в А, имеет постоянное направление. Действительно, дифференцируя последние уравнения, находим

Заменяя в этих уравнениях значениями, которые получаются из уравнений (1) и (2), имеем:

Разделив одно равенство на другое, получим

и поэтому

или, интегрируя,

Таким образом, сила трения постоянна по величине и направлению. Так как движение точки происходит под действием только этой силы, то траектория этой точки является параболой.

Так как составляющие X, Y силы трения являются постоянными, то лроекции и к скорости точки, находящейся в А, будут на основании

уравнений (3) линейными функциями времени. Эти величины уменьшаются по абсолютному значению. Если мы, например, предположим, что и положительно, то X будет обязательно отрицательным на основании законов трения. То же самое будет тогда и для и и уменьшается. При этом обязательно достигнет по истечении конечного промежутка времени Т значения, равного нулю, так как эта величина является линейной функцией времени. Если и отрицательно, то X будет положительным и и будет приближаться к нулю, увеличиваясь. Так как отношение постоянно, то обе составляющие скорости обратятся в нуль в один и тот же момент. Начиная с этого момента Т, скольжение прекратится, а получающееся после этого качение совместно с верчением будет устойчиво, так как, если повлиять на катящийся шар, сообщив ему небольшое скольжение, то согласно предыдущему это скольжение исчезнет по истечении очень короткого промежутка времени.

Следовательно, начиная с момента Т, движение будет качением с верчением. Касательная реакция плоскости будет тогда силой неизвестного направления, подчиненной условию . Мы сейчас покажем, что если пренебречь трением качения и верчения, то, начиная с момента Т, движение центра тяжести обратится в прямолинейное и равномерное и сила станет, равной нулю. В самом деле, если мы будем продолжать обозначать через X и проекции силы в этой второй фазе, то уравнения (1) и (2) останутся по-прежнему справедливыми в той же форме. Исключая из этих уравнений X и получим

Так как в этой новой фазе имеет место качение с верчением, то величины равны нулю, и мы имеем

Внося получающиеся отсюда значения величии и в уравнение (4), найдем

Следовательно, движение точки прямолинейно и равномерно и уравнения (1) показывают, что X и а следовательно и сила равны нулю.

Согласно замечанию Кориолиса, так как уравнения (4) получаются исключением X и Y, то они будут иметь место, какова бы ни была касательная реакция плоскости. Следовательно, они имеют силу в течение всего времени движения как в его первой фазе, так и. во второй. Но эти уравнения непосредственно интегрируются и получается

Чтобы истолковать эти формулы, возьмем точку Н, расположенную над центром на расстоянии Ее координаты относительно системы будут Отсюда следует, что левые части предыдущих уравнений суть проекции на оси абсолютной скорости точки шара, находящейся в рассматриваемый момент в Н. Мы видим, что эта скорость

постоянна по величине и направлению. Ее можно рассматривать как заданную ее значением в начале движения, и она не зависит от любого предположения относительно закона касательной силы . В частности, когда устанавливается чистое качение (вторая фаза), и и и равны нулю и мы имеем

Внося эти значения и в уравнения (5), приведем их к виду

и так как то составляющие конечной скорости центра тяжести суть

Таким образом, эти составляющие известны как функции начальных условий, которые на основании равенств (5) позволяют вычислить

Может, например, случиться, что в уравнениях (5) начальные значения положительны, но начальные значения и выбраны таким образом, что а и отрицательны. Тогда вначале центр тяжести, если предположить, что он находился внутри положительного угла будет удаляться от точки О, но во второй фазе станут отрицательными и шар будет возвращаться обратно, катясь и вертясь таким образом, что он будет приближаться к точке О.

Трение качения. Эффект трения качения на шар исследован Аппелем (Journal de Jordan, 6е serie, т. VII, 1911).