ГЛАВА XIX. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

359. Уравнение движения.

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, представляет собой систему с полными связями, так как его положение зависит только от одного параметра, а именно от угла, на который тело поворачивается от какого-нибудь определенного положения.

Если мы допустим, что связи осуществлены без трения, то единственным уравнением, определяющим движение тела, будет уравнение, получаемое из теоремы кинетической энергии, так как работа реакций связей в этом случае равна нулю. Предположим, что на тело действуют заданные силы и будем обозначать через проекции какой-нибудь из этих сил на оси.

Примем ось вращения за ось и пусть — угловая скорость в момент вся масса тела. Кинетическая энергия системы будет:

т. е. кинетическая энергия тела равна квадрату угловой скорости, умноженному на половину момента инерции тела относительно оси вращения.

Теорема кинетической энергии выражается теперь уравнением

в которое входят только заданные силы. Если через обозначить цилиндрические координаты точки х, у, z тела, то

Когда тело вращается, меняется только 0 и тогда

Уравнение кинетической энергии принимает теперь вид

которое после выполнения дифференцирования в левой части может быть написано так:

Это уравнение может быть получено другим способом, исходя из теоремы момента количества движения. Применим эту теорему к оси Oz. Так как моменты реакций равны нулю, то мы получим:

Но

и после подстановки мы получим опять уравнение, найденное из теоремы кинетической энергии.